数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列式の存在(バンデルモンドの行列式、帰納法)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、4(行列式の存在)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\det \left[\begin{array}{ccc}1& x_1& x_1^2\\ 1& x_2& x_2^2\\ 1& x_3& x_3^2\end{array}\right]\\ =\left(x_2{x}_3^2-x_2^2{x}_3\right)-\left(x_1{x}_3^2-x_1^2{x}_3\right)+\left(x_1{x}_2^2-x_1^2{x}_2\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)x_3^2+\left(x_1^2-x_2^2\right)x_3+x_1{x}_2\left(x_2-x_1\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3^2-\left(x_2+x_1\right)x_3+x_1{x}_2\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\det \left[\begin{array}{cccc}1& x_1& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_1^{n-1}\\ 1& x_2& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_2^{n-1}\\ & & \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& \\ 1& x_n& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_n^{n-1}\end{array}\right]\\ =\det \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ 1& x_2-x_1& x_2^2-x_2{x}_1& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_2^{n-1}-x_2^{n-2}{x}_1\\ & & & \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& \\ 1& x_n-x_1& x_n^2-x_n{x}_1& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_n^{n-1}-x_n^{n-2}{x}_1\end{array}\right]\\ =\left(x_n-x_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(x_2-x_1\right)\det \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ 1& 1& x_2& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_2^{n-2}\\ & & & \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& \\ 1& 1& x_n& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& x_n^{n-2}\end{array}\right]\\ =\left(x_n-x_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left(x_2-x_1\right)V_{n-1}\end{array}$

      よって、機の方より問題の等式は成り立つ。

      (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('5.')

for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[symbols(f'x{i}') ** (j - 1) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    for o in [A, A.det().factor()]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
[1]

1

⎡1  x₁⎤
⎢     ⎥
⎣1  x₂⎦

-x₁ + x₂

⎡         2⎤
⎢1  x₁  x₁ ⎥
⎢          ⎥
⎢         2⎥
⎢1  x₂  x₂ ⎥
⎢          ⎥
⎢         2⎥
⎣1  x₃  x₃ ⎦

-(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₂ - x₃)

⎡         2    3⎤
⎢1  x₁  x₁   x₁ ⎥
⎢               ⎥
⎢         2    3⎥
⎢1  x₂  x₂   x₂ ⎥
⎢               ⎥
⎢         2    3⎥
⎢1  x₃  x₃   x₃ ⎥
⎢               ⎥
⎢         2    3⎥
⎣1  x₄  x₄   x₄ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₃ - x₄)

⎡         2    3    4⎤
⎢1  x₁  x₁   x₁   x₁ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎢1  x₂  x₂   x₂   x₂ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎢1  x₃  x₃   x₃   x₃ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎢1  x₄  x₄   x₄   x₄ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎣1  x₅  x₅   x₅   x₅ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₁ - x₅)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₂ - x₅)⋅(x₃ - x₄
)⋅(x₃ - x₅)⋅(x₄ - x₅)


C:\Users\...>