2019年5月23日木曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、4(行列式の存在)、練習問題5の解答を求めてみる。



    1. det [ 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 ] = x 2 x 3 2 - x 2 2 x 3 - x 1 x 3 2 - x 1 2 x 3 + x 1 x 2 2 - x 1 2 x 2 = x 2 - x 1 x 3 2 + x 1 2 - x 2 2 x 3 + x 1 x 2 x 2 - x 1 = x 2 - x 1 x 3 2 - x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x 3 - x 1 x 3 - x 2

    2. det [ 1 x 1 x 1 n - 1 1 x 2 x 2 n - 1 1 x n x n n - 1 ] = det [ 1 0 0 0 1 x 2 - x 1 x 2 2 - x 2 x 1 x 2 n - 1 - x 2 n - 2 x 1 1 x n - x 1 x n 2 - x n x 1 x n n - 1 - x n n - 2 x 1 ] = x n - x 1 x 2 - x 1 det [ 1 0 0 0 1 1 x 2 x 2 n - 2 1 1 x n x n n - 2 ] = x n - x 1 x 2 - x 1 V n - 1

      よって、機の方より問題の等式は成り立つ。

      (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('5.')

for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[symbols(f'x{i}') ** (j - 1) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    for o in [A, A.det().factor()]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
[1]

1

⎡1  x₁⎤
⎢     ⎥
⎣1  x₂⎦

-x₁ + x₂

⎡         2⎤
⎢1  x₁  x₁ ⎥
⎢          ⎥
⎢         2⎥
⎢1  x₂  x₂ ⎥
⎢          ⎥
⎢         2⎥
⎣1  x₃  x₃ ⎦

-(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₂ - x₃)

⎡         2    3⎤
⎢1  x₁  x₁   x₁ ⎥
⎢               ⎥
⎢         2    3⎥
⎢1  x₂  x₂   x₂ ⎥
⎢               ⎥
⎢         2    3⎥
⎢1  x₃  x₃   x₃ ⎥
⎢               ⎥
⎢         2    3⎥
⎣1  x₄  x₄   x₄ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₃ - x₄)

⎡         2    3    4⎤
⎢1  x₁  x₁   x₁   x₁ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎢1  x₂  x₂   x₂   x₂ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎢1  x₃  x₃   x₃   x₃ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎢1  x₄  x₄   x₄   x₄ ⎥
⎢                    ⎥
⎢         2    3    4⎥
⎣1  x₅  x₅   x₅   x₅ ⎦

(x₁ - x₂)⋅(x₁ - x₃)⋅(x₁ - x₄)⋅(x₁ - x₅)⋅(x₂ - x₃)⋅(x₂ - x₄)⋅(x₂ - x₅)⋅(x₃ - x₄
)⋅(x₃ - x₅)⋅(x₄ - x₅)


C:\Users\...>

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