数学 - Python - 解析学 - 関数の極限と連続性 - 関数の極限(数列の極限との関係、単調増加で上に有界)

解析入門(上)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(関数の極限と連続性)、3.1(関数の極限)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   数列を

   $a_n=a+n$

   と定める。

   このとき、 問題の仮定より、数列

   $b_n=f\left(a_n\right)$

   は単調増加で上に有界なので収束する。

   よって、定理4の(a)により、 有限の極限が存在し、

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->+\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->+\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }f\left(a_n\right)$

   となる。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, oo, Limit, summation
import matplotlib.pyplot as plt
k, n = symbols('k, n')
f = summation(1 / k ** 2, (k, 1, n))
l = Limit(f, n, oo)

for o in [l, l.doit()]:
    pprint(o)

ns = range(1, 50)
plt.plot(ns, [f.subs({n: n0}) for n0 in ns],
         ns, [l.doit() for n0 in ns], marker='o')
plt.legend([f, l.doit()])
# plt.show()
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
     ⎛     x - 2     ⎞
 lim ⎜───────────────⎟
x─→2⁺⎝(x - 3)⋅(x - 1)⎠

0

     ⎛     x - 2     ⎞
 lim ⎜───────────────⎟
x─→2⁻⎝(x - 3)⋅(x - 1)⎠

0

     ⎛     x - 2     ⎞
 lim ⎜───────────────⎟
x─→3⁺⎝(x - 3)⋅(x - 1)⎠

∞

     ⎛     x - 2     ⎞
 lim ⎜───────────────⎟
x─→3⁻⎝(x - 3)⋅(x - 1)⎠

-∞

     ⎛     x - 2     ⎞
 lim ⎜───────────────⎟
x─→1⁺⎝(x - 3)⋅(x - 1)⎠

∞

     ⎛     x - 2     ⎞
 lim ⎜───────────────⎟
x─→1⁻⎝(x - 3)⋅(x - 1)⎠

-∞


C:\Users\...>