数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(三角関数(正弦)、累乗(べき乗、立方))

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題12の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + O (x^{5}) \\ \sin^{2} x \\ = {(x - \frac{1}{3!} x^{3})}^{2} + O (x^{5}) \\ = x^{2} - \frac{1}{3} x^{4} + O (x^{5}) \\ \sin^{3} x \\ = (x^{2} - \frac{1}{3} x^{4}) (x - \frac{1}{3!} x^{3}) + O (x^{5}) \\ = x^{3} + O (x^{5}) \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, sin, factorial, Derivative

print('12.')

x = symbols('x')
f = sum([1 / factorial(n) * Derivative(sin(x) ** 3, x, n).subs({x: 0}) * x ** n
         for n in range(5)])

for o in [f, f.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(sin(x), sin(x) ** 3, f.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12.
   ⎛  4         ⎞│         ⎛  3         ⎞│         ⎛  2         ⎞│            
 4 ⎜ d ⎛   3   ⎞⎟│       3 ⎜ d ⎛   3   ⎞⎟│       2 ⎜ d ⎛   3   ⎞⎟│            
x ⋅⎜───⎝sin (x)⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝sin (x)⎠⎟│      x ⋅⎜───⎝sin (x)⎠⎟│            
   ⎜  4         ⎟│         ⎜  3         ⎟│         ⎜  2         ⎟│            
   ⎝dx          ⎠│x=0      ⎝dx          ⎠│x=0      ⎝dx          ⎠│x=0     ⎛d ⎛
───────────────────── + ───────────────────── + ───────────────────── + x⋅⎜──⎝
          24                      6                       2               ⎝dx 

             
             
             
             
   3   ⎞⎞│   
sin (x)⎠⎟│   
        ⎠│x=0

 3
x 


C:\Users\...>

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2019年5月21日火曜日

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