数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(三角関数(余弦)、逆数)

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}\\ \frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\frac{1}{\cos x}\\ =\frac{{\cos }^{3}x-\sin x\left(2\cos x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{{\cos }^{3}x+2{\sin }^{2}x\cos x}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{{\cos }^{3}x+2\left(1-{\cos }^{2}x\right)\cos x}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2\cos x-{\cos }^{3}x}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\frac{1}{\cos x}\\ =\frac{-2\cos x\left(-\sin x\right){\cos }^{3}x-\left(2-{\cos }^{2}x\right)3{\cos }^{2}x\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{6}x}\\ =\frac{2{\cos }^{4}x\sin x+6{\cos }^{2}x\sin x-3{\cos }^{4}x\sin x}{{\cos }^{6}x}\\ =\frac{6{\cos }^{2}x\sin x-{\cos }^{4}x\sin x}{{\cos }^{6}x}\\ =\frac{6\sin x}{{\cos }^{4}x}-\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}\\ \frac{d^4}{{\mathrm{dx}}^4}\frac{1}{\cos x}\\ =6·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\cos }^{5}x-\left(\sin x\right)\left(4{\cos }^{3}x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{8}x}-\frac{{\cos }^{3}x-\left(\sin x\right)\left(2\cos x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{4}x}\\ \frac{1}{\cos x}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{1}{4!}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(6-1\right)x^4+O\left(x^6\right)\\ =1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+O\left(x^6\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, cos, factorial, Derivative

print('11.')

x = symbols('x')
f = sum([1 / factorial(n) * Derivative(1 / cos(x), x, n).subs({x: 0}) * x ** n
         for n in range(5)])

for o in [f, f.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(cos(x), 1 / cos(x), f.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.
   ⎛  4        ⎞│         ⎛  3        ⎞│         ⎛  2        ⎞│               
 4 ⎜ d ⎛  1   ⎞⎟│       3 ⎜ d ⎛  1   ⎞⎟│       2 ⎜ d ⎛  1   ⎞⎟│               
x ⋅⎜───⎜──────⎟⎟│      x ⋅⎜───⎜──────⎟⎟│      x ⋅⎜───⎜──────⎟⎟│               
   ⎜  4⎝cos(x)⎠⎟│         ⎜  3⎝cos(x)⎠⎟│         ⎜  2⎝cos(x)⎠⎟│               
   ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0     ⎛d ⎛  1
──────────────────── + ──────────────────── + ──────────────────── + x⋅⎜──⎜───
         24                     6                      2               ⎝dx⎝cos

             
             
             
             
   ⎞⎞│       
───⎟⎟│    + 1
(x)⎠⎠│x=0    

   4    2    
5⋅x    x     
──── + ── + 1
 24    2     


C:\Users\...>