2019年5月20日月曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題11の解答を求めてみる。


  1. d dx 1 cos x = sin x cos 2 x d 2 dx 2 1 cos x = cos 3 x - sin x 2 cos x - sin x cos 4 x = cos 3 x + 2 sin 2 x cos x cos 4 x = cos 3 x + 2 1 - cos 2 x cos x cos 4 x = 2 cos x - cos 3 x cos 4 x = 2 - cos 2 x cos 3 x d 3 dx 3 1 cos x = - 2 cos x - sin x cos 3 x - 2 - cos 2 x 3 cos 2 x - sin x cos 6 x = 2 cos 4 x sin x + 6 cos 2 x sin x - 3 cos 4 x sin x cos 6 x = 6 cos 2 x sin x - cos 4 x sin x cos 6 x = 6 sin x cos 4 x - sin x cos 2 x d 4 dx 4 1 cos x = 6 · cos 5 x - sin x 4 cos 3 x - sin x cos 8 x - cos 3 x - sin x 2 cos x - sin x cos 4 x 1 cos x = 1 + x 2 2 ! + 1 4 ! · 6 - 1 x 4 + O x 6 = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + O x 6

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, cos, factorial, Derivative

print('11.')

x = symbols('x')
f = sum([1 / factorial(n) * Derivative(1 / cos(x), x, n).subs({x: 0}) * x ** n
         for n in range(5)])

for o in [f, f.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(cos(x), 1 / cos(x), f.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.
   ⎛  4        ⎞│         ⎛  3        ⎞│         ⎛  2        ⎞│               
 4 ⎜ d ⎛  1   ⎞⎟│       3 ⎜ d ⎛  1   ⎞⎟│       2 ⎜ d ⎛  1   ⎞⎟│               
x ⋅⎜───⎜──────⎟⎟│      x ⋅⎜───⎜──────⎟⎟│      x ⋅⎜───⎜──────⎟⎟│               
   ⎜  4⎝cos(x)⎠⎟│         ⎜  3⎝cos(x)⎠⎟│         ⎜  2⎝cos(x)⎠⎟│               
   ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0     ⎛d ⎛  1
──────────────────── + ──────────────────── + ──────────────────── + x⋅⎜──⎜───
         24                     6                      2               ⎝dx⎝cos

             
             
             
             
   ⎞⎞│       
───⎟⎟│    + 1
(x)⎠⎠│x=0    

   4    2    
5⋅x    x     
──── + ── + 1
 24    2     


C:\Users\...>

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