数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(三角関数(余弦)、累乗(べき乗、平方))

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題8の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} + O (x^{6}) \\ \cos^{2} x = {(1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4})}^{2} + O (x^{6}) \\ = 1 - \frac{1}{2!} \cdot 2 x^{2} + ({(\frac{1}{2!})}^{2} + \frac{1}{4!} \cdot 2) x^{4} + O (x^{6}) \\ = 1 - x^{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{12}) x^{4} + O (x^{6}) \\ = 1 - x^{2} + \frac{1}{3} x^{4} + O (x^{6}) \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, cos, factorial

print('8.')

x = symbols('x')
f = sum([(-1) ** k * 1 / factorial(2 * k) * x ** (2 * k) for k in range(3)])
g = 1 - x ** 2 + x ** 4 / 3

for o in [f, g, (f ** 2).expand()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(cos(x), cos(x) ** 2, f, f ** 2, g,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py
8.
 4    2    
x    x     
── - ── + 1
24   2     

 4         
x     2    
── - x  + 1
3          

  8    6    4         
 x    x    x     2    
─── - ── + ── - x  + 1
576   24   3          


C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年5月17日金曜日

数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(三角関数(余弦)、累乗(べき乗、平方))

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