数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 一意性定理(対数関数、逆正接関数、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、8(一意性定理)の練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    

    対数関数について。

    $\begin{array}{l}\left|R_{n+1}\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|x\right|}^{n+1}}{n+1}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left|x\right|}^{n+1}\end{array}$

    よって近似多項式はテイラー多項式にほかならない。

    逆正接関数について。

    $\begin{array}{l}\left|R_{2n}\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|x\right|}^{2n+1}}{2n+1}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left|x\right|}^{2n+1}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, log, atan

print('13.')

x = symbols('x')
fs = [(log(1 + x), (x, 0.1, 2)),
      (sum([(-1) ** (n - 1) * x ** n / n
            for n in range(1, 6)]),
       (x, 0.1, 2)),
      (atan(x), (x, -2, 2)),
      (sum([(-1) ** (n - 1) * x ** (2 * n - 1) / (2 * n - 1)
            for n in range(1, 6)]),
       (x, -2, 2))]

for f in fs:
    pprint(f)
    print()

p = plot(*fs,
         ylim=(-2, 2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample13.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample13.py
13.
(log(x + 1), (x, 0.1, 2))

⎛ 5    4    3    2                 ⎞
⎜x    x    x    x                  ⎟
⎜── - ── + ── - ── + x, (x, 0.1, 2)⎟
⎝5    4    3    2                  ⎠

(atan(x), (x, -2, 2))

⎛ 9    7    5    3                ⎞
⎜x    x    x    x                 ⎟
⎜── - ── + ── - ── + x, (x, -2, 2)⎟
⎝9    7    5    3                 ⎠


C:\Users\...>