2019年5月18日土曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.3(級数)、問題6の解答を求めてみる。



    1. lim n a n 1 + a n = 0

      のとき、

      a n 1 + a n = a n + 1 - 1 a n + 1 = 1 - 1 a n + 1 lim n a n = 0

      よって、 ある N が存在し、 n が N 以上のとき、

      0 a n 1 2 a n 1 + a n a n 1 + 1 2 = 2 3 a n

      ここで問題の作定より

      a n

      は正項級数で発散するので、 比較定理より

      a n 1 + a n

      は発散する。

      lim n a n 1 + a n 0

      のとき、 発散する。


    2. a n = 1

      のとき、

      1 1 + n 1 n

      よって、比較定理より、 発散する。

      k = 0 , 1 , 2 , n = 2 k a n = 1 n 2 k a n = 0

      と定めると、

      a n

      は正項級数で発散する。

      また、 等比級数について考えると、

      a n 1 + a n = 1 2 k = lim n 1 - 1 2 n 1 - 1 2 = 1

      となるので収束する。

      よって収束する場合もあれば、発散する場合もあるという結論が得られる。


    3. a n 1 + n 2 a n a n n 2 a n = 1 n 2

      ここで、

      1 n 2

      に収束するので、比較定理より、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt

print('6.')

n = symbols('n')


ans = [1 + 0 * n, 1 / 2 + 0 * n, 1 / (1 + n), 1 / (1 + 2 ** n), 1 / n ** 2]
for an in ans:
    s = summation(an, (n, 1, oo))
    for a, o in zip(['一般項', '無限級数'], [an, s]):
        print(a)
        pprint(o)
        print()


def s(k, an):
    return sum([an.subs({n: i}) for i in range(1, k + 1)])


ns = range(1, 11)
xs = [k for k in ns]
xys = []
for ys in [[s(k, an) for k in ns] for an in ans]:
    xys.append(xs)
    xys.append(ys)
plt.plot(*xys, marker='o')
plt.xticks(ns)
plt.legend([chr(ord('a') + i) for i, _ in enumerate(ans)])
# plt.show()
plt.savefig('sample6.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
6.
一般項
1

無限級数
∞

一般項
0.500000000000000

無限級数
inf

一般項
  1  
─────
n + 1

無限級数
∞

一般項
  1   
──────
 n    
2  + 1

無限級数
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲     1   
   ╲  ──────
   ╱   n    
  ╱   2  + 1
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

一般項
1 
──
 2
n 

無限級数
 2
π 
──
6 

C:\Users\...>

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ