数学 - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像に対応する行列(基底、微分演算、累乗、指数関数、三角関数(正弦と余弦)、転置行列)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像と行列)、2(線形写像に対応する行列)、練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^t=e^t+0e^{2t}\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^{2t}=0e^t+2e^{2t}\end{array}$

      よって、 求める 問題の基底に関する線形写像、微分演算 D に対応する行列は、

      $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}1=0=0·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t=1=1·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t\\ \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^t=e^t=1·\; <!--\; middle\; dot\; -->e^t+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t{e}^t\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t{e}^t=e^t+t{e}^t\\ \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}1=0·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t+0t^2\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t=1·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0t+0t^2\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{t}^2=2t=0·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+2t+0t^2\\ \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}1=0·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t+0e^t+0e^{2t}+0t{e}^{2t}\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t=1·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t+0e^t+0e^{2t}+0t{e}^{2t}\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^t=0·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t+1e^t+0e^{2t}+0t{e}^{2t}\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{e}^{2t}=0·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t+0e^t+2e^{2t}+0t{e}^{2t}\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}t{e}^{2t}=e^{2t}+2t{e}^{2t}\\ =0·\; <!--\; middle\; dot\; -->1+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->t+0e^t+1e^{2t}+2t{e}^{2t}\\ \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{array}\right]\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}\sin t=\cos t=0\sin t+\cos t\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\cos t=-\sin t=-\sin t+0\cos \mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\\ \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\end{array}$