数学 - 圏論 - 序論 - 普遍性、密着位相、連続写像

ベーシック圏論
普遍性からの速習コース
原著
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ベーシック圏論 普遍性からの速習コース (Tom Leinster(著)、斎藤 恭司(監修)、土岡 俊介(翻訳)、丸善出版)の序論、演習問題0.10の解答を求めてみる。

10. 
    

    写像 i を

    $\begin{array}{l}i:I\left(S\right)\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->S\\ i\left(s\right)=s\end{array}$

    によって定義する。

    すると、密着位相を導入した位相空間S と写像 i は次の普遍性をもつ。

    つまり、任意の位相空間 X と写像

    $f:X\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->S$

    について、

    $i\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\stackrel{-}{f}=f$

    なる連続写像

    $\stackrel{-}{f}:X\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->I\left(S\right)$

    がただ1つ存在する。

    この連続写像は、単なる集合間の写像ではなく、位相空間の間の写像と思うことと除けば、写像 fと同一である。