数学 - 圏論 - 序論 - 位相空間、開集合、被覆、和集合、包含写像、図式、連続写像、普遍性

ベーシック圏論
普遍性からの速習コース
原著
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ベーシック圏論 普遍性からの速習コース (Tom Leinster(著)、斎藤 恭司(監修)、土岡 俊介(翻訳)、丸善出版)の序論、演習問題0.12の解答を求めてみる。

12. 
    
    $f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i=g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->j$

    のとき、 開集合 U と V の共通部分の任意の元 xに対して、

    $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

    が成り立つ。

    写像 h を

    $\begin{array}{l}h:U\cup \; <!--\; union\; -->V\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->Y\\ x\in \; <!--\; element\; of\; -->U\\ h\left(x\right)=f\left(x\right)\\ x\in \; <!--\; element\; of\; -->V\\ h\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}$

    と定める。

    この h はただ1つ存在する。

    この h について

    $\begin{array}{l}h\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->j\text{'}=f\\ h\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i=g\end{array}$

    が成り立つ。

    連続性について。
    O を Y の任意の開集合とする。

    $\begin{array}{l}{h}^{-1}\left(O\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->U\\ =f^{-1}\left(O\right)\end{array}$

    について、 f は連続なので関長合である。

    $\begin{array}{l}{h}^{-1}\left(O\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->V\\ =g^{-1}\left(O\right)\end{array}$

    について、 g も連続なので開集合である。

    よって、

    $\begin{array}{l}{h}^{-1}\left(O\right)\\ =\left(h^{-1}\left(O\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->U\right)\cup \; <!--\; union\; -->\left(h^{-1}\left(O\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->V\right)\end{array}$

    は開集合の和集合なので開集合である。よって、 h は連続写像である。