数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(ベクトル空間、2つの部分空間、共通部分、次元に関する等式)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    

    問題12の線形写像 f による

    $U\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->W$

    の像は、

    $U+W$

    また、核は

    $U\cap \; <!--\; intersection\; -->W$

    と同形で、

    $\dim \left(U\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->W\right)=\dim U+\dim W$

    なので、

    $\begin{array}{l}\dim \left(U\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->W\right)=\dim \left(U\cap \; <!--\; intersection\; -->W\right)+\dim \left(U+W\right)\\ \dim V+\dim W=\dim \left(U\cap \; <!--\; intersection\; -->W\right)+\dim \left(U+W\right)\end{array}$

    （証明終）