数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(実ベクトル空間、単射線形写像)

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   x、 y、 z を任意の実数とする。

   $\begin{array}{l}f\left(x+y\right)\\ =\left(x+y\right)v\\ =xv+yv\\ =f\left(x\right)+f\left(y\right)\\ f\left(xy\right)\\ =xyv\\ =xf\left(yv\right)\end{array}$

   よって線形写像である。

   $f\left(x\right)=f\left(y\right)$

   ならば、

   $\begin{array}{l}xv=yv\\ x=y\end{array}$

   よって単射である。

   ゆえに線形単射である。

   f と実数から V の中への任意の線形単射とする。

   $f\left(x\right)=xv+w$

   と仮定すると

   $\begin{array}{l}f\left(0\right)=0\\ 0v+w=0\\ w=0\end{array}$

   よって、

   $f\left(x\right)=xv$

   （証明終）