数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数(平方、テイラーの公式の必要項数、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^2<3^2=9\\ \frac{2^2}{2!}=2\\ \frac{2^3}{3!}=\frac{4}{3}\\ \frac{2^4}{4!}=\frac{2}{3}\\ \frac{2^5}{5!}=\frac{4}{15}\\ \frac{2^6}{6!}=\frac{8}{90}\\ \frac{2^7}{7!}=\frac{8}{315}\\ \frac{2^8}{8!}=\frac{2}{315}\\ \frac{2^9}{9!}=\frac{4}{2835}\\ \frac{2^{10}}{10!}=\frac{4}{14175}\\ \frac{2^{11}}{11!}=\frac{8}{155925}\\ \frac{2^{12}}{12!}=\frac{4}{467775}\\ \left|R_{12}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->9·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{4}{467775}<10^{-4}\end{array}$

      小数第4位までは12項。

   2. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{2^{13}}{13!}=\frac{8}{6081075}\\ \frac{2^{14}}{14!}=\frac{8}{42567525}\\ \frac{2^{15}}{15!}=\frac{16}{638512875}\\ \left|R_{15}\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->e^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2^{15}}{15!}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2^{15}}{15!}\\ <10^{-6}\end{array}$

      よって第15項。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Derivative, Rational

print('9.')

x = symbols('x')
f = exp(x)
n = 0
is_a = False
while True:
    n += 1
    g = sum([Derivative(f, x, i).subs({x: 0}) /
             factorial(i) * x ** i for i in range(n)]).doit()
    r = 2 ** n / factorial(n)
    for o in [g, r]:
        pprint(o)
        print()
    if not is_a and 9 * r <= 10 ** -4:
        print(f'(a)')
        print(f'n = {n}')
        fa = g
        is_a = True
    if 9 * r <= 10 ** -6:
        print(f'(b)')
        print(f'n = {n}')
        fb = g
        break

diff = 10 ** -4
p = plot(f, fa, fb, exp(2),
         (x, 2 - diff, 2 + diff),
         ylim=(float(exp(2)) - diff, float(exp(2)) + diff),
         show=False, legend=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample9.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.
1

2

x + 1

2

 2        
x         
── + x + 1
2         

4/3

 3    2        
x    x         
── + ── + x + 1
6    2         

2/3

 4    3    2        
x    x    x         
── + ── + ── + x + 1
24   6    2         

4/15

  5    4    3    2        
 x    x    x    x         
─── + ── + ── + ── + x + 1
120   24   6    2         

4/45

  6     5    4    3    2        
 x     x    x    x    x         
─── + ─── + ── + ── + ── + x + 1
720   120   24   6    2         

8/315

  7      6     5    4    3    2        
 x      x     x    x    x    x         
──── + ─── + ─── + ── + ── + ── + x + 1
5040   720   120   24   6    2         

2/315

   8      7      6     5    4    3    2        
  x      x      x     x    x    x    x         
───── + ──── + ─── + ─── + ── + ── + ── + x + 1
40320   5040   720   120   24   6    2         

4/2835

   9        8      7      6     5    4    3    2        
  x        x      x      x     x    x    x    x         
────── + ───── + ──── + ─── + ─── + ── + ── + ── + x + 1
362880   40320   5040   720   120   24   6    2         

4/14175

   10        9        8      7      6     5    4    3    2        
  x         x        x      x      x     x    x    x    x         
─────── + ────── + ───── + ──── + ─── + ─── + ── + ── + ── + x + 1
3628800   362880   40320   5040   720   120   24   6    2         

8/155925

   11         10        9        8      7      6     5    4    3    2        
  x          x         x        x      x      x     x    x    x    x         
──────── + ─────── + ────── + ───── + ──── + ─── + ─── + ── + ── + ── + x + 1
39916800   3628800   362880   40320   5040   720   120   24   6    2         

4/467775

(a)
n = 12
    12         11         10        9        8      7      6     5    4    3  
   x          x          x         x        x      x      x     x    x    x   
───────── + ──────── + ─────── + ────── + ───── + ──── + ─── + ─── + ── + ── +
479001600   39916800   3628800   362880   40320   5040   720   120   24   6   

  2        
 x         
 ── + x + 1
 2         

8/6081075

    13           12         11         10        9        8      7      6     
   x            x          x          x         x        x      x      x     x
────────── + ───────── + ──────── + ─────── + ────── + ───── + ──── + ─── + ──
6227020800   479001600   39916800   3628800   362880   40320   5040   720   12

5    4    3    2        
    x    x    x         
─ + ── + ── + ── + x + 1
0   24   6    2         

8/42567525

     14           13           12         11         10        9        8     
    x            x            x          x          x         x        x      
─────────── + ────────── + ───────── + ──────── + ─────── + ────── + ───── + ─
87178291200   6227020800   479001600   39916800   3628800   362880   40320   5

 7      6     5    4    3    2        
x      x     x    x    x    x         
─── + ─── + ─── + ── + ── + ── + x + 1
040   720   120   24   6    2         

    16   
─────────
638512875

(b)
n = 15

C:\Users\...>