数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 逆正接関数(三角関数、正弦、累乗)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、6(逆正接関数)の練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}\sin \left(x^2\right)=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}{\sin }^{2}x=2\sin x\cos x=\sin \left(2x\right)\\ \frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}{\sin }^{2}x=2\cos \left(2x\right)\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}{\sin }^{2}x=-4\sin \left(2x\right)\\ \frac{d^4}{{\mathrm{dx}}^4}{\sin }^{2}x=-8\cos \left(2x\right)\\ \frac{d^5}{{\mathrm{dx}}^5}{\sin }^{2}x=16\sin \left(2x\right)\\ {\sin }^{2}x=\frac{2}{2!}{x}^2-\frac{2^3}{4!}{x}^4+\frac{2^5}{6!}{x}^6-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \frac{\sin x^2}{{\sin }^{2}x}\\ =\frac{1-\frac{x^4}{3!}+\frac{x^8}{5!}-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->}{1-\frac{2^3}{4!}{x}^2+\frac{2^5}{6l}{x}^4-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->}\end{array}$

   よって、求める極限は、

   $\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\sin }^{2}x}=1$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, plot, Limit, factorial

print('6.')

x = symbols('x')
f = sin(x ** 2) / sin(x) ** 2

for dir in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=dir)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

n = symbols('n')
gs = [(-1) ** n * x ** (2 + 4 * n) / factorial(2 * n + 1),
      (-1) ** n * 2 ** (1 + 2 * n) * x ** (2 * n + 2) / factorial(2 + 2 * n)]
fs = [sum([g.subs({n: k}) for k in range(5)])
      for g in gs]

for o in fs:
    pprint(o)
    print()

p = plot(*fs,
         sin(x ** 2),
         sin(x) ** 2,
         f, 1,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         show=False, legend=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
     ⎛   ⎛ 2⎞⎞
     ⎜sin⎝x ⎠⎟
 lim ⎜───────⎟
x─→0⁺⎜   2   ⎟
     ⎝sin (x)⎠

1

     ⎛   ⎛ 2⎞⎞
     ⎜sin⎝x ⎠⎟
 lim ⎜───────⎟
x─→0⁻⎜   2   ⎟
     ⎝sin (x)⎠

1

  18      14     10    6     
 x       x      x     x     2
────── - ──── + ─── - ── + x 
362880   5040   120   6      

   10      8      6      4       
4⋅x     2⋅x    4⋅x    2⋅x       2
───── - ──── + ──── - ──── + 2⋅x 
14175   315     45     3         


C:\Users\...>