数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成(ベクトル空間、二つの自身の中への線形写像、いくつかの条件、像と核、包含関係)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   問題1 と(c) になり、

   $V=P_2\left(V\right)\oplus \; <!--\; circled\; plus\; -->\ker P_2$

   また、(b)より

   $\begin{array}{l}{P}_2\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->P_1\left(V\right)=O\\ P_2\left(P_1\left(V\right)\right)=O\end{array}$

   よって

   $P_1\left(V\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->\ker P_2$

   また、任意の

   $\begin{array}{l}v\in \; <!--\; element\; of\; -->\ker P_2\\ P_2\left(v\right)=O\end{array}$

   に対して、 (a) より

   $\begin{array}{l}\left(P_1+P_2\right)\left(v\right)=v\\ P_1\left(v\right)+P_2\left(v\right)=v\\ P_1\left(v\right)=v\end{array}$

   よって、

   $v\in \; <!--\; element\; of\; -->P_1\left(V\right)$

   ゆえに、

   $\ker P_2\subset \; <!--\; subset\; of\; -->P_1\left(V\right)$

   以上より

   $P_1\left(V\right)=\ker P_2$

   （証明終）