数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数(逆数、積分、近似、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題11-(a)の解答を求めてみる。

11. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{1}{5!}{x}^5+R_6\left(x\right)\\ \left|R_6\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->e·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left|x\right|}^6}{6!}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left|x\right|}^6}{6!}\\ \frac{e^x-1}{x}=1+\frac{1}{2!}x+\frac{1}{3!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^4+\frac{R_6\left(x\right)}{x}\\ \left|\frac{R_6\left(x\right)}{x}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left|x\right|}^5}{6!}=\frac{{\left|x\right|}^5}{6·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}\\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{e^x-1}{x}\mathrm{dx}\\ ={\left[x+\frac{1}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}{x}^2+\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}{x}^3+\frac{1}{4·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}{x}^4+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}{x}^5\right]}^1+\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_6\left(x\right)}{x}\mathrm{dx}\\ \underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_6\left(x\right)}{x}\right|\mathrm{dx}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{x^5}{6·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{6·\; <!--\; middle\; dot\; -->6·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}\\ =\frac{1}{1440}\\ <10^{-3}\end{array}$

       よって、求める積分の小数第3位までの値は

       $\begin{array}{l}1+\frac{1}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}+\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{4·\; <!--\; middle\; dot\; -->4!}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!+3·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->3+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->4}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{14400+3600+800+150+24}{14400}\\ =\frac{18974}{14400}\\ =1.317\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Integral

print('11-(a).')

x = symbols('x')
f = (exp(x) - 1) / x
g = Integral(f, (x, 0, 1))

for o in [g, g.doit(), float(g.doit())]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, exp(x), exp(x) - 1,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11-(a).
1          
⌠          
⎮  x       
⎮ ℯ  - 1   
⎮ ────── dx
⎮   x      
⌡          
0          

-γ + Ei(1)

1.3179021514544038


C:\Users\...>