数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(可逆、全単射、同型写像)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   F の逆写像と G とする。

   
   w を W の任意の元とする。

   $\begin{array}{l}G\left(w\right)=v\\ F\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->G\left(w\right)=F\left(v\right)\\ F\left(v\right)=w\end{array}$

   よって、 F は全射である。

   x、 y を V の任意の元とする。

   $F\left(x\right)=F\left(y\right)$

   ならば、

   $\begin{array}{l}G\left(F\left(x\right)\right)=G\left(F\left(y\right)\right)\\ x=y\end{array}$

   よって、 F は単射である。

   ゆえに、 F は全単射である。

   以上より、 F は同形写像である。

   （証明終）