数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 指数関数(逆数、累乗根、置換積分法、積分、近似、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、4(指数関数)の練習問題11-(e)の解答を求めてみる。

11. 
    
    5. 
       

       置換積分法。

       $\begin{array}{l}t=x^2\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=2x\\ x=0,t=1\\ x=0.1,t=0.01\\ \underset{0}{\overset{0.1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{e}^{\left(-x^2\right)}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{0.01}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ e^{-t}=1+R_1\left(t\right)\\ \left|R_1\left(t\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->e^{-0}\left|t\right|\\ =\left|t\right|\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{l}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{R_1\left(t\right)}{\sqrt{t}}\\ \left|\frac{R_1\left(t\right)}{\sqrt{t}}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{t}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{0.01}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ ={\left[\sqrt{t}\right]}_0^{0.01}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{0.01}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_1\left(t\right)\mathrm{dt}}{\sqrt{t}}\\ \underset{0}{\overset{0.01}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_1\left(t\right)}{\sqrt{t}}\mathrm{dt}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{0.01}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{t}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{3}{\left[t\sqrt{t}\right]}_0^{0.01}\\ =\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-1}\\ <10^{-3}\end{array}$

       よって、 求める積分の小数第3位までの値は、

       $\begin{array}{l}{\left[\sqrt{t}\right]}_0^{0.01}\\ =\sqrt{10^{-2}}\\ =0.1\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, plot, factorial, Integral, Rational

print('11-(e).')

x = symbols('x')
f = exp(-x ** 2)
If = Integral(f, (x, 0, 0.1))
y = Rational(1, 10)

for o in [If, If.doit(), float(If.doit()), float(y)]:
    pprint(o)
    print()

f = exp(-x) / (2 * x ** Rational(1, 2))
g = 1 / (2 * x ** Rational(1, 2))
p = plot(f, g,
         (x, 0, 0.015),
         ylim=(0, 20),
         show=False, legend=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11-(e).
0.1        
 ⌠         
 ⎮     2   
 ⎮   -x    
 ⎮  ℯ    dx
 ⌡         
 0         

0.0562314580091424⋅√π

0.09966766429033636

0.1


C:\Users\...>