数学 - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列 - 極限、大小、負の無限大、正の無限大

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.1(数列)、問題1を取り組んでみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

      と仮定する。

      $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}>0$

      とおく。

      ある自然数 N が存在して、

      $n>N$

      ならば、

      $\begin{array}{l}\left|\left(b_n-a_n\right)-\left(\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\\ \left|b_n-a_n+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\\ b_n-a_n+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\\ b_n-a_n<0\end{array}$

      これは

      $a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b_n$

      と矛盾。

      よって、

      $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}$
   2. 
      

      M を任意の実数とする。

      ある自然数 N が存在して、

      $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

      ならば、

      $a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->M$

      また、

      $b_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_n$

      より

      $\begin{array}{l}{b}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->M\\ b_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->M\end{array}$

      よって、

      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n=+\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\\ b_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M\\ a_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b_n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M\end{array}$

      よって、

      $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$