2019年4月16日火曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.1(数列)、問題5を取り組んでみる。


  1. 問題の仮定より、

    lim n a n - α = 0

    任意の 正の実数

    ε > 0

    に対して、ある自然数 N が存在して、

    n > N a n - α < ε

    よって、

    a 1 - α + + a N - α + a N + 1 - α + + a n - α n < a 1 - α + + a N - α + n - N ε n . < a 1 - α + + a N - α + n - N ε n < a 1 - α + + a N - α n + ε

    また、 ある自然数 M が存在して、

    n > M α 1 - α + · · + α µ - α n < ε

    よって、

    n > max M , N a 1 - α + + a n - α n < 2 ε

    ここで、

    a 1 - α + + a n - α n = a 1 + + a n n - α

    ゆえに、

    lim n a n = α lim n a 1 + + a n n = α

    が成り立つ。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Limit, oo, summation, plot

print('5.')
n, k = symbols('n, k', integer=True)
alpha = symbols('α', real=True)
a = 1 / n + alpha
s = summation(a, (n, 1, k)) / k
l1 = Limit(a, n, oo)
l2 = Limit(s, k, oo)

for o in [l1, l1.doit(), l2, l2.doit()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
    ⎛    1⎞
lim ⎜α + ─⎟
n─→∞⎝    n⎠

α

    ⎛k⋅α + harmonic(k)⎞
lim ⎜─────────────────⎟
k─→∞⎝        k        ⎠

α


C:\Users\...>

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