数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列(極限、平均の極限)

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.1(数列)、問題5を取り組んでみる。

5. 
   

   問題の仮定より、

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)=0$

   任意の 正の実数

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

   に対して、ある自然数 N が存在して、

   $n>N\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\left|\frac{\left(a_1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_N-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\left(a_{N+1}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)}{n}\right|\\ <\left|\frac{\left(a_1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_N-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\left(n-N\right)\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{n}\right|.\\ <\frac{\left|\left(a_1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_N-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\right|+\left(n-N\right)\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{n}\\ <\frac{\left|\left(a_1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_N-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\right|}{n}+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

   また、 ある自然数 M が存在して、

   $n>M\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\frac{\left|\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->+\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\right|}{n}<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   よって、

   $n>\max \left\{M,N\right\}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|\frac{\left(a_1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)}{n}\right|<2\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   ここで、

   $\begin{array}{l}\left|\frac{\left(a_1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)}{n}\right|\\ =\left|\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|\end{array}$

   ゆえに、

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n}{n}=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Limit, oo, summation, plot

print('5.')
n, k = symbols('n, k', integer=True)
alpha = symbols('α', real=True)
a = 1 / n + alpha
s = summation(a, (n, 1, k)) / k
l1 = Limit(a, n, oo)
l2 = Limit(s, k, oo)

for o in [l1, l1.doit(), l2, l2.doit()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
    ⎛    1⎞
lim ⎜α + ─⎟
n─→∞⎝    n⎠

α

    ⎛k⋅α + harmonic(k)⎞
lim ⎜─────────────────⎟
k─→∞⎝        k        ⎠

α


C:\Users\...>