数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列(不等式、帰納法)

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.1(数列)、問題3を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} {(1 + h)}^{n} - (1 + n h + \frac{n (n - 1)}{2} h^{2}) \\ = {(1 + h)}^{n - 1} (1 + h) - (1 + (n - 1) h + h + \frac{(n - 1) (n - 2 + 2)}{2} h^{2}) \\ = {(1 + h)}^{n - 1} + h {(1 + h)}^{n - 1} - \\ (1 + (n - 1) h + h + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} h^{2} + (n - 1) h^{2}) \\ = {(1 + h)}^{n - 1} - (1 + (n - 1) h + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} h^{2}) + \\ h {(1 + h)}^{n - 1} - (h - (n - 1) h^{2}) \\ \geq h {(1 + h)}^{n - 1} - h + (n - 1) h^{2} \\ \geq h (1 + (n - 1) h) - h + (n - 1) h^{2} \\ = h + (n - 1) h^{2} - h + (n - 1) h^{2} \\ = 0 \end{array}$

よって、帰納法により、

${(1 + h)}^{n} \geq 1 + n h + \frac{n (n - 1)}{2} h^{2}$

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols,  pprint, I, Rational, sqrt
from sympy.plotting import plot3d

print('3.')

h, n = symbols('h, n')
p = plot3d((1 + h) ** n - (1 + n * h + n * (n - 1) / 2 * h ** 2),
           (h, 0.1, 5),
           (n, 2, 10),
           show=False)
p.xlabel = h
p.ylabel = n

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.

C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年4月14日日曜日

数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列(不等式、帰納法)

0 コメント:

コメントを投稿