数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列(不等式、帰納法)

解析入門(上)
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.1(数列)、問題3を取り組んでみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}{\left(1+h\right)}^n-\left(1+nh+\frac{n\left(n-1\right)}{2}{h}^2\right)\\ ={\left(1+h\right)}^{n-1}\left(1+h\right)-\left(1+\left(n-1\right)h+h+\frac{\left(n-1\right)\left(n-2+2\right)}{2}{h}^2\right)\\ ={\left(1+h\right)}^{n-1}+h{\left(1+h\right)}^{n-1}-\\ \left(1+\left(n-1\right)h+h+\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}{h}^2+\left(n-1\right)h^2\right)\\ ={\left(1+h\right)}^{n-1}-\left(1+\left(n-1\right)h+\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}{h}^2\right)+\\ h{\left(1+h\right)}^{n-1}-\left(h-\left(n-1\right)h^2\right)\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->h{\left(1+h\right)}^{n-1}-h+\left(n-1\right)h^2\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->h\left(1+\left(n-1\right)h\right)-h+\left(n-1\right)h^2\\ =h+\left(n-1\right)h^2-h+\left(n-1\right)h^2\\ =0\end{array}$

   よって、 帰納法により、

   ${\left(1+h\right)}^n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->1+nh+\frac{n\left(n-1\right)}{2}{h}^2$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols,  pprint, I, Rational, sqrt
from sympy.plotting import plot3d

print('3.')

h, n = symbols('h, n')
p = plot3d((1 + h) ** n - (1 + n * h + n * (n - 1) / 2 * h ** 2),
           (h, 0.1, 5),
           (n, 2, 10),
           show=False)
p.xlabel = h
p.ylabel = n

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.

C:\Users\...>