2019年4月23日火曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題1を取り組んでみる。


  1. a n + 1 = a n + b n 2 a n b n = b n + 1

    よって、

    a n b n

    また、

    a 2 - a 1 = a + b 2 - a = b - a 2 < 0 a 1 > a 2 a n + 1 - a n = a n + b n 2 - a n = b n - a n 2 < 0

    よって帰納法により

    a n + 1 > a n

    また、

    b n + 1 b n = a n b n b n = a n b n 1

    なので、

    b n + 1 > b n

    また、

    a n 0 b n 0

    ゆえに、2つの数列は共に下に有界で単調減少なので収束する。

    そこで、

    lim n a n = α lim n b n = β

    とおくと、

    α = α + β 2 2 α = α + β α = β

    よって、

    lim n a n = lim n b n

    なので、問題の2つの数列は同一の極限に収束する。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
import math
print('1.')


def a(n):
    if n == 1:
        return 1000000
    return (a(n - 1) + b(n - 1)) / 2


def b(n):
    if n == 1:
        return 1
    return math.sqrt(a(n - 1) * b(n - 1))


for o in [a, b]:
    plt.plot(range(1, 11), [o(n) for n in range(1, 11)], marker='o')

plt.legend(['a', 'b'])
# plt.show()
plt.savefig('sample1.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.

C:\Users\...>

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