数学 - Python - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(算術幾何平均)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題1を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}{a}_{n+1}\\ =\frac{a_n+b_n}{2}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a_n{b}_n}\\ =b_{n+1}\end{array}$

   よって、

   $a_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b_n$

   また、

   $\begin{array}{l}{a}_2-a_1\\ =\frac{a+b}{2}-a\\ =\frac{b-a}{2}\\ <0\\ a_1>a_2\\ a_{n+1}-a_n\\ =\frac{a_n+b_n}{2}-a_n\\ =\frac{b_n-a_n}{2}\\ <0\end{array}$

   よって帰納法により

   $a_{n+1}>a_n$

   また、

   $\begin{array}{l}\frac{b_{n+1}}{b_n}\\ =\frac{\sqrt{a_n{b}_n}}{b_n}\\ =\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{b_n}}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\end{array}$

   なので、

   $b_{n+1}>b_n$

   また、

   $\begin{array}{l}{a}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ b_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\end{array}$

   ゆえに、2つの数列は共に下に有界で単調減少なので収束する。

   そこで、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n=\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\end{array}$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{2}\\ 2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\end{array}$

   よって、

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n$

   なので、問題の2つの数列は同一の極限に収束する。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
import math
print('1.')


def a(n):
    if n == 1:
        return 1000000
    return (a(n - 1) + b(n - 1)) / 2


def b(n):
    if n == 1:
        return 1
    return math.sqrt(a(n - 1) * b(n - 1))


for o in [a, b]:
    plt.plot(range(1, 11), [o(n) for n in range(1, 11)], marker='o')

plt.legend(['a', 'b'])
# plt.show()
plt.savefig('sample1.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.

C:\Users\...>