2019年4月7日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題3の解答を求めてみる。


  1. dim V = n

    とし、

    v 1 , , v n

    を V の基底とする。

    f を全射と仮定する。
    W の任意の元 w に対して

    f v = w v = x 1 v 1 + + x n v n

    と満たす V の元 v が存在する。

    このとき、

    f v = w x 1 f v 1 + + x n f v n = w

    よって、 W は

    f v n , , f v n

    によって生成される。

    ゆえに

    dim W n

    これは

    dim V < dim W

    と矛盾。

    以上より、 f は全射ではありえない。

    (証明終)

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