2019年4月14日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題10の解答を求めてみる。


  1. f u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = f u 1 + u 2 , v 1 + v 2 = u 1 + u 2 + v 1 + v 2 = u 1 + v 1 + u 2 + v 2 = f u 1 , v 2 + f u 2 , v 2 f c u 1 , v 1 = f c u 1 , c v 1 = c u 1 + c v 1 = c u 1 + v 2 = c f u 1 , v 1

    よって、線形写像である。

    V の任意の元 v に対して

    v = v + 0 = f v , 0

    よって f は全射。

    U 、 V の基底をそれぞれ、

    u 1 , , u s v 1 , , v t

    とする。

    このとき、 V の基底は

    u 1 , , u s , v 1 , , v t

    となる。

    u , v u = x 1 u 1 + + x s u s v = v 1 r 1 + + y t v t

    と f の 核とする。

    f u , v = 0 x 1 f u 1 + + x s f u s + y 1 f v 1 + + y t f v t = 0

    ここでは、

    f u 1 , , f u s , f v 1 , , f v t

    は V の基底となるので、

    x 1 = = x s = y 1 = = y t = 0

    よって、

    u , v = 0 , 0

    なので単射である。

    ゆえに全単射である。

    したがって同形である。

    (証明終)

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