数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 核と像の次元(ベクトル空間、直和、全単射、同形写像)

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(\left(u_1,v_1\right)+\left(u_2,v_2\right)\right)\\ =f\left(u_1+u_2,v_1+v_2\right)\\ =\left(u_1+u_2\right)+\left(v_1+v_2\right)\\ =\left(u_1+v_1\right)+\left(u_2+v_2\right)\\ =f\left(u_1,v_2\right)+f\left(u_2,v_2\right)\\ f\left(c\left(u_1,v_1\right)\right)\\ =f\left(c{u}_1,c{v}_1\right)\\ =c{u}_1+c{v}_1\\ =c\left(u_1+v_2\right)\\ =cf\left(u_1,v_1\right)\end{array}$

    よって、線形写像である。

    V の任意の元 v に対して

    $\begin{array}{l}v\\ =v+0\\ =f\left(\left(v,0\right)\right)\end{array}$

    よって f は全射。

    U 、 V の基底をそれぞれ、

    $\begin{array}{l}\left\{u_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,u_s\right\}\\ \left\{v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_t\right\}\end{array}$

    とする。

    このとき、 V の基底は

    $\left\{u_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,u_s,v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_t\right\}$

    となる。

    $\begin{array}{l}\left(u,v\right)\\ u=x_1{u}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_s{u}_s\\ v=v_1{r}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_t{v}_t\end{array}$

    と f の 核とする。

    $\begin{array}{l}f\left(u,v\right)=0\\ x_{1}f\left(u_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{s}f\left(u_s\right)+y_{1}f\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_{t}f\left(v_t\right)=0\end{array}$

    ここでは、

    $f\left(u_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,f\left(u_s\right),f\left(v_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,f\left(v_t\right)$

    は V の基底となるので、

    $x_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=x_s=y_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=y_t=0$

    よって、

    $\left(u,v\right)=\left(0,0\right)$

    なので単射である。

    ゆえに全単射である。

    したがって同形である。

    （証明終）