2019年4月29日月曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題7の解答を求めてみる。


  1. limsup n a n = limsup n 0 b n > - limsup n a n > - lim n sup b n =

    ならば

    limsup n a n + b n = limsup n a n + limsup n b n =

    なので、

    limsup n a n + b n limsup n a n + limsup n b n

    同様に、

    limsup n a n = - limsup n 0 b n < b limsup n a n < limsup n b n = -

    のとき、

    limsup n a n + b n = - limsup n a n + limsup n b n = -

    なので

    limsup n a n + b n limsup n a n + limsup n b n

    また、

    limsup n a n , limsup n b n

    が共に有限の場合、

    limsup n a n = a limsup n b n = b

    とおくと、問題6 (a)より、任意の

    ε > 0

    に対して、 ほとんどすべての n について

    a n < a + ε 2 b n < b + ε 2

    が成り立つ。

    すなわち

    a n + b n < a + b + ε

    となる。

    よって、 問題6 (a)(上記とは逆)より、

    limsup n a n + b n a + b = limsup n a n + limsup n b n

    が成り立つ。

    (証明終)

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