数学 - 解析学 - 数 - 数列と級数 - 数列の収束条件(2つの数列、和の上極限と上極限の和、等式と不等式、有限と無限)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(数列と級数)、2.2(数列の収束条件)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}\left(\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\mathrm{limsup}}{b}_n>-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\right)\mathrm{\vee \; <!--\; logical\; or\; -->}\\ \left(\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n>-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->{\lim }_{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}^{\sup }}{b}_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\right)\end{array}$

   ならば

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}\left(a_n+b_n\right)=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n+\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n=\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

   なので、

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}\left(a_n+b_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n+\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n$

   同様に、

   $\begin{array}{l}\left(\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\mathrm{limsup}}{b}_n<b\right)\mathrm{\vee \; <!--\; logical\; or\; -->}\\ \left(\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n<\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\right)\end{array}$

   のとき、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}\left(a_n+b_n\right)=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n+\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n=-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

   なので

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}\left(a_n+b_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n+\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n$

   また、

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n,\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n$

   が共に有限の場合、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n=a\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n=b\end{array}$

   とおくと、問題6 (a)より、任意の

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

   に対して、 ほとんどすべての n について

   $\begin{array}{l}{a}_n<a+\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\\ b_n<b+\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\end{array}$

   が成り立つ。

   すなわち

   $a_n+b_n<\left(a+b\right)+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   となる。

   よって、 問題6 (a)（上記とは逆）より、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}\left(a_n+b_n\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a+b\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{a}_n+\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\mathrm{limsup}}{b}_n\end{array}$

   が成り立つ。

   （証明終）