数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 分数式の不等式(正の数、平方、大小)

数学読本〈1〉
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、分数式の不等式の問30の解答を求めてみる。

30. 
    
    $\begin{array}{}\left(A^2+B^2\right)-\left(x^2+y^2\right)\\ =\frac{{\left(ax+by\right)}^2+{\left(bx+ay\right)}^2}{{\left(a+b\right)}^2}-\left(x^2+y^2\right)\\ =\frac{a^2{x}^2+b^2{y}^2+b^2{x}^2+a^2{y}^2+4abxy}{{\left(a+b\right)}^2}-\left(x^2+y^2\right)\\ =\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)+4abxy}{{\left(a+b\right)}^2}-\left(x^2+y^2\right)\\ =\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)+4abxy-{\left(a+b\right)}^2\left(x^2+y^2\right)}{{\left(a+b\right)}^2}\\ =\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)+4abxy-\left(a^2+b^2+2ab\right)\left(x^2+y^2\right)}{{\left(n+b\right)}^2}\\ =\frac{4abxy-2ab\left(x^2+y^2\right)}{{\left(a+b\right)}^2}\\ =\frac{2ab\left(2xy-x^2-y^2\right)}{{\left(a+b\right)}^2}\\ =\frac{-2ab{\left(x-y\right)}^2}{{\left(a+b\right)}^2}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->0\end{array}$

    よって、

    $A^2+B^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x^2+y^2$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols
from sympy.plotting import plot3d
import random

print('30.')

x, y = symbols('x, y')
a = random.randrange(1, 11)
b = random.randrange(1, 11)

A = (a * x + b * y) / (a + b)
B = (b * x + a * y) / (a + b)
f = (x ** 2 + y ** 2) - (A ** 2 + B ** 2)

print(f'a = {a}, b = {b}')

p = plot3d(f, show=False)

p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.show()
p.save('sample30.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample30.py
30.
a = 6, b = 2

C:\Users\...>