数学 - 解析学 - 数 - 自然数、整数(整列性、帰納法の第2形式の証明)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.2(自然数、整数)、問題1を取り組んでみる。

1. 
   

   自然数の集合 S に含まれない自然数全体の集合を T とする。

   T が空集合ではないと仮定する。

   $T\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

   自然数の整列性によって、 T に最小元が存在する。それを n とおく。

   1つ目の性質より、 n は0ではない。

   $n\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   よって

   $n>0,$

   である。

   n は T の最小元なので、

   $0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->k<n$

   を満たす任意の整数 k は S の元である。

   2つ目の性質より、 n も S に含まれる。

   これは n が T の元であることと矛盾。

   ゆえに、 T は空集合なので、 S はすべての自然数の集合 N と一致する。

   （証明終）