2019年3月2日土曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.2(自然数、整数)、問題1を取り組んでみる。


  1. 自然数の集合 S に含まれない自然数全体の集合を T とする。

    T が空集合ではないと仮定する。

    T ϕ

    自然数の整列性によって、 T に最小元が存在する。それを n とおく。

    1つ目の性質より、 n は0ではない。

    n 0

    よって

    n > 0 ,

    である。

    n は T の最小元なので、

    0 k < n

    を満たす任意の整数 k は S の元である。

    2つ目の性質より、 n も S に含まれる。

    これは n が T の元であることと矛盾。

    ゆえに、 T は空集合なので、 S はすべての自然数の集合 N と一致する。

    (証明終)

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