数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像(2次元、2つの線形写像、座標、一般化)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{}F\left(u+v\right)\\ =\left(f\left(u+v\right),g\left(u+v\right)\right)\\ =\left(f\left(u\right)+f\left(v\right),g\left(u\right)+g\left(v\right)\right)\\ =\left(f\left(u\right),g\left(v\right)\right)+\left(f\left(v\right),g\left(v\right)\right)\\ =F\left(u\right)+F\left(v\right)\\ F\left(cv\right)\\ =\left(f\left(cv\right),g\left(cv\right)\right)\\ =\left(cf\left(v\right),\mathrm{cg}\left(v\right)\right)\\ =c\left(f\left(v\right),g\left(v\right)\right)\\ =cF\left(v\right)\end{array}$

   よって、線形写像である。

   （証明終）

   一般化。

   $\begin{array}{}F\left(v\right)\\ =\left(f_1\left(v\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,f_n\left(v\right)\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

print('6.')

x, y = symbols('x, y')

# 線形写像
# 内積(スカラー積、ドット積)
A = Matrix([1, 2])


def f(X):
    return X.dot(A)


B = Matrix([3, 4])


def g(X):
    return X.dot(B)


def F(X):
    return Matrix([f(X), g(X)])


a, b, c, d, e = symbols('a, b, c, d, e', real=True)
u = Matrix([a, b])
v = Matrix([c, d])

for o in [F(e * (u + v)), e * F(u) + e * F(v),
          F(e * (u + v)).expand() == (e * F(u) + e * F(v)).expand()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample6.py
6.
⎡ e⋅(a + c) + 2⋅e⋅(b + d) ⎤
⎢                         ⎥
⎣3⋅e⋅(a + c) + 4⋅e⋅(b + d)⎦

⎡  e⋅(a + 2⋅b) + e⋅(c + 2⋅d)  ⎤
⎢                             ⎥
⎣e⋅(3⋅a + 4⋅b) + e⋅(3⋅c + 4⋅d)⎦

True


C:\Users\...>