数学 - Python - 解析学 - 数 - 自然数、整数(有理数、既約分数、標準分解、イデアル、最大公約数、和への分解)

解析入門(上)
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.2(自然数、整数)、問題6を取り組んでみる。

6. 
   

   0でない有理数 a の既約分数を

   $a=\frac{B}{A}$

   とおく。

   また、

   $A=p_i^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}{A}_i$

   とおく。

   このとき、

   $A_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A_s$

   が共通な素因数 p を持つと仮定すると、 p は A の素因数でもある。

   よって、

   $p_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,p_s$

   のいずれかが p で割り切れる。

   $p_i$

   が p で割り切れるとすると、 分母は標準分解なので他の

   $p_i\left(i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->j\right)$

   は p で割り切れない。

   よって、

   $A_i=p_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_{i-1}{p}_{i+1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_s$

   は p で割に切れない。

   よって矛盾。

   ゆえに、

   $A_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A_s$

   は共通な素因数をもたない。

   $\left(A_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A_s\right)=1$

   定理4より、

   $k_1{A}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+k_s{A}_s=1$

   を満たす整数

   $k_i\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,s\right)$

   が存在する。

   上記の等式の両辺を A で割ると、

   $\frac{k_1}{q_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{k_s}{q_s}=\frac{1}{A}\left(q_i=p_i\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)\right)$

   両辺に B をかけると、

   $a=\frac{k_{1}B}{q_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{k_{s}B}{q_s}$

   よって、

   $k_{i}B=h_i\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,s\right)$

   とおけばよい。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, primerange, Rational, solve
import random

print('6.')

primes = list(primerange(1, 100))[:10]
exps = [random.randrange(5) for _ in enumerate(primes)]
A = sum([p ** x for p, x in zip(primes, exps)])
B = 1
for p in primerange(100, 150):
    B *= p ** random.randrange(5)

a = Rational(A, B)

pprint(a)
eq = a - sum([symbols(f'h{i}', integer=True) / p ** x
              for i, (p, x) in enumerate(zip(primes, exps))])

pprint(solve(eq))

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample6.py
6.
                5889                
────────────────────────────────────
337468786192609329659717788261696583
⎡⎧      4⋅h₁   4⋅h₂   4⋅h₃   4⋅h₄          4⋅h₆          4⋅h₈                 
⎢⎨h₀: - ──── - ──── - ──── - ──── - 4⋅h₅ - ──── - 4⋅h₇ - ──── - 4⋅h₉ + ───────
⎣⎩       81     5     343     11           4913          529           3374687

        23556                ⎫⎤
─────────────────────────────⎬⎥
86192609329659717788261696583⎭⎦

C:\Users\...>