数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正接、4次、多項式)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{}\frac{d}{\mathrm{dx}}\tan x\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{\sin x}{\cos x}\\ =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ \frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\tan x\\ =\frac{2\cos x\sin x}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\tan x\\ =2\frac{{\cos }^{4}x-2\sin x·\; <!--\; middle\; dot\; -->3{\cos }^{2}x\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{6}x}\\ =2\frac{{\cos }^{4}x+6{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{6}x}\\ \frac{d^4}{{\mathrm{dx}}^4}\tan x\\ =2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{A\sin x}{{\cos }^{12}x}\end{array}$

   求める4次のテイラー多項式。

   $\begin{array}{}1+\frac{2}{3!}{x}^3\\ =1+\frac{1}{3}{x}^3\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, tan, factorial, Derivative, plot

print('6.')

x = symbols('x')
f = tan(x)
g = sum([Derivative(f, x, i).subs({x: 0}) * x ** i / factorial(i)
         for i in range(5)])

for o in [g, g.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(tan(x), g.doit(), ylim=(-10, 10), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample6.py
6.
   ⎛  4        ⎞│         ⎛  3        ⎞│         ⎛  2        ⎞│               
 4 ⎜ d         ⎟│       3 ⎜ d         ⎟│       2 ⎜ d         ⎟│               
x ⋅⎜───(tan(x))⎟│      x ⋅⎜───(tan(x))⎟│      x ⋅⎜───(tan(x))⎟│               
   ⎜  4        ⎟│         ⎜  3        ⎟│         ⎜  2        ⎟│               
   ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0     ⎛d     
──────────────────── + ──────────────────── + ──────────────────── + x⋅⎜──(tan
         24                     6                      2               ⎝dx    

         
         
         
         
    ⎞│   
(x))⎟│   
    ⎠│x=0

 3    
x     
── + x
3     


C:\Users\...>