数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(余弦、逆数、積、積分、近似値(小数第3位まで))

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(b)の解答を求めてみる。

11. 
    
    2. 
       
       $\begin{array}{}f\left(x\right)=\cos x-1\\ f\text{'}\left(x\right)=-\sin x\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\cos x\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{}\cos x-1\\ =-\frac{1}{2!}{x}^2++R_4\left(x\right)\\ \left|R_4\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left|x\right|}^4}{4!}=\frac{{\left|x\right|}^4}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{}\frac{\cos x-1}{x}\\ =-\frac{1}{2}x+\frac{R_4\left(x\right)}{x}\\ \left|\frac{R_4\left(x\right)}{x}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|x\right|}^3}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}\end{array}$

       したがって、

       $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{0.1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\cos x-1}{x}\mathrm{dx}\\ ={\left[-\frac{1}{4}{x}^2\right]}_0^{0.1}+\underset{0}{\overset{0.1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_4\left(x\right)}{x}\mathrm{dx}\end{array}$

       かつ

       $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{0.1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_4\left(x\right)}{x}\right|\mathrm{dx}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{0}{\overset{0.1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{x^3}{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}\mathrm{dx}\\ ={\left[\frac{x^4}{8·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}\right]}_0^{0.1}\\ =\frac{1}{8·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}10^{-4}\end{array}$

       よって求める積分の小数第3位までの値は、

       $\begin{array}{}{\left[-\frac{1}{4}{x}^2\right]}_0^{0,1}\\ =-\frac{1}{4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^2}\\ =-\frac{1}{400}\\ =-0.0025\\ -0.002\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, cos, Integral, plot

print('11-(b).')

x = symbols('x')
f = (cos(x) - 1) / x
i = Integral(f, (x, 0, Rational(1, 10)))

for o in [i, i.doit(), float(i.doit())]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(cos(x), cos(x) - 1, x, f, show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(b).
1/10              
 ⌠                
 ⎮   cos(x) - 1   
 ⎮   ────────── dx
 ⎮       x        
 ⌡                
 0                

  log(100)                           
- ──────── + Ci(1/10) - γ + 2⋅log(10)
     2                               

-0.0024989585647838155


C:\Users\...>