2019年3月26日火曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(e)の解答を求めてみる。



    1. 置換積分法。

      t = x 2 dt dx = 2 x x = 0 , t = 0 x = 1 , t = 1 0 1 cos x 2 dx = 1 2 0 1 cos t t dt

      テイラーの公式。

      cos t = 1 - t 2 2 ! + t 4 4 ! + R 6 t R 6 t t 6 6 !

      よって、

      cos t t = t - 1 2 - 1 2 ! t 3 2 + 1 4 ! t 7 2 + R 6 t t R 6 t t t 11 2 6 !

      ゆえに、

      1 2 0 1 cos x 2 dx = 1 2 2 t 1 2 - 2 5 · 2 ! t 5 2 + 2 9 · 4 ! t 9 2 0 1 + 1 2 0 1 R 6 t x dt

      かつ

      1 2 0 1 R 6 t t dt = 1 2 0 1 t 11 2 6 ! dt = 1 2 2 13 · 6 ! t 13 2 0 1 = 1 13 · 6 !

      よって、求める積分の小数第3位までの値は、

      1 2 2 t 1 2 - 2 5 · 2 ! t 5 2 + 2 9 · 4 ! t 9 2 0 1 = 1 - 1 5 · 2 ! + 1 9 · 4 ! = 5 · 9 · 4 ! - 9 · 4 · 3 + 5 5 · 9 · 4 ! = 1080 - 108 + 5 1080 = 977 1080 = 0.904 . . .

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, cos, Integral, plot, factorial

print('11-(e).')

x = symbols('x')
f = cos(x ** 2)
i = Integral(f, (x, 0, 1))
g = 1 - x ** 2 / factorial(2) + x ** 4 / factorial(4)

for o in [i, i.doit(), float(i.doit()), g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g, (x, -2, 2), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(d).
1           
⌠           
⎮    ⎛ 2⎞   
⎮ sin⎝x ⎠   
⎮ ─────── dx
⎮    x      
⌡           
0           

Si(1)
─────
  2  

0.4730415351835915

   3    
  x    x
- ── + ─
  36   2


C:\Users\...>

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