数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正接、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->0.2<\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\\ \frac{d^4}{{\mathrm{dx}}^4}\tan x\\ =\frac{d^4}{{\mathrm{dx}}^4}\frac{\sin x}{\cos x}\\ =\frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\frac{-2\cos x\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\frac{2\cos x\sin x}{{\cos }^{4}x}\\ =2\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}\\ =2\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{{\cos }^{4}x-\sin x\left(3{\cos }^{2}x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{6}x}\\ =2\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{{\cos }^{4}x+3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{6}x}\\ =2\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}\\ =2\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}\right)\\ =2\left(\frac{-2\cos x\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{4}x}+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2\sin x{\cos }^{5}x-{\sin }^{2}x\left(4{\cos }^{3}x\right)\left(-\sin x\right)}{{\cos }^{8}x}\right)\\ =4\left(\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}+\frac{2\sin x{\cos }^{5}x+4{\sin }^{3}x{\cos }^{3}x}{{\cos }^{8}x}\right)\\ =4\left(\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}+\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}+\frac{4{\sin }^{3}x}{{\cos }^{5}x}\right)\\ <4\left(1+2+4\right)\\ =28\end{array}$

   剰余項を評価。

   $\begin{array}{}\left|R_4\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->28·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left(0.2\right)}^4}{4!}\\ =\frac{28·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-4}}{4!}\\ =28·\; <!--\; middle\; dot\; -->4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-4}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, tan, factorial, Derivative, plot

print('7.')

x = symbols('x')
f = tan(x)
g = sum([Derivative(f, x, i).doit().subs({x: 0}) * x ** i / factorial(i)
         for i in range(5)])
r = f - g
for o in [g, g.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(r, 2 * 4 * 10 ** -4, (x, -0.5, 0.5), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample7.py
7.
 3    
x     
── + x
3     

 3    
x     
── + x
3     


C:\Users\...>