数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦、積分、近似値(小数第3位まで))

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題11-(a)の解答を求めてみる。

11. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{}\sin x\\ =\sin 0+\left(\cos 0\right)x-\frac{1}{2!}\left(\sin 0\right)x^2-\frac{1}{3!}\left(\cos 0\right)x^3+\frac{1}{5!}{x}^5+R_7\left(x\right)\\ =x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+R_7\left(x\right)\end{array}$

       剰余項の評価。

       $\left|R_7\left(x\right)\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|x\right|}^7}{7!}$

       よって、

       $\begin{array}{}\frac{\sin x}{x}=1-\frac{1}{3!}{x}^2+\frac{1}{5!}{x}^4+\frac{R_7\left(x\right)}{x}\\ \left|\frac{R_7\left(x\right)}{x}\right|\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left|x\right|}^6}{7!}\end{array}$

       ゆえに、

       $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\frac{\sin x}{x}\mathrm{dx}\\ ={\left[x-\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}{x}^3+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}{x}^5\right]}_0^1+\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{R_7\left(x\right)}{x}\mathrm{dx}\end{array}$

       かつ

       $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\frac{R_7\left(x\right)}{x}\right|\mathrm{dx}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{x^6}{7!}\mathrm{dx}\\ ={\left[\frac{x^7}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->7!}\right]}_0^1\\ =\frac{1}{7·\; <!--\; middle\; dot\; -->7!}\end{array}$

       よって、求める積分の小数第3位までの値は、

       $\begin{array}{}{\left[x-\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}{x}^3+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}{x}^5\right]}_0^1\\ =1-\frac{1}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3!}+\frac{1}{5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!-5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4+3}{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5·\; <!--\; middle\; dot\; -->5!}\\ =\frac{1800-100+3}{1800}\\ =\frac{1703}{1800}\\ =0.946\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, sin, Integral, plot

print('11-(a).')

x = symbols('x')
f = sin(x) / x
i = Integral(f, (x, 0, 1))

for o in [i, i.doit(), float(i.doit())]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(sin(x), x, f, show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample11.py
11-(a).
1          
⌠          
⎮ sin(x)   
⎮ ────── dx
⎮   x      
⌡          
0          

Si(1)

0.946083070367183


C:\Users\...>