数学 - 線形代数学 - 線形写像(ベクトル、内積(ドット積、スカラー積)、線分、凸集合)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題19の解答を求めてみる。

19. 
    

    X 、 Y を

    $\begin{array}{}X·\; <!--\; middle\; dot\; -->A\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->c\\ Y·\; <!--\; middle\; dot\; -->A\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->c\end{array}$

    を満たす

    ${\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n$

    の任意の2点とする。

    このとき、 X、 Y を結ぶ線分について

    $\begin{array}{}0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->t\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\\ \left(tX+\left(1-t\right)Y\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->A\\ =tX·\; <!--\; middle\; dot\; -->A+Y·\; <!--\; middle\; dot\; -->A-tY·\; <!--\; middle\; dot\; -->A\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->tc+c-tc\\ =c\end{array}$

    よって、 凸集合である。

    （証明終）