数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦、剰余項の評価)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、3(三角関数)の練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{}\frac{d^4}{{\mathrm{dx}}^4}\sin x\\ =\frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\cos x\\ =\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\left(-\sin x\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(-\cos x\right)\\ =\sin x\end{array}$

   剰余項の評価。

   $\begin{array}{}\left|R_4\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\left(0.2\right)}^4}{4!}\\ =\frac{2^4·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-4}}{4!}\\ =\frac{2}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->10^{-4}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, factorial, Derivative, Rational

print('5.')

x = symbols('x')
d = {x: 0.2}
f = sin(x)
g = sum([Derivative(f, x, i).subs({x: 0}) * x ** i / factorial(i)
         for i in range(4)])
r = Rational(2, 3) * 10 ** (-4)

for o in [f, g, g.doit(), abs((f - g).subs(d).doit()), r,
          abs((f - g).subs(d).doit()) < r]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py -3 sample5.py
5.
sin(x)

   ⎛  3        ⎞│         ⎛  2        ⎞│                        
 3 ⎜ d         ⎟│       2 ⎜ d         ⎟│                        
x ⋅⎜───(sin(x))⎟│      x ⋅⎜───(sin(x))⎟│                        
   ⎜  3        ⎟│         ⎜  2        ⎟│                        
   ⎝dx         ⎠│x=0      ⎝dx         ⎠│x=0     ⎛d         ⎞│   
──────────────────── + ──────────────────── + x⋅⎜──(sin(x))⎟│   
         6                      2               ⎝dx        ⎠│x=0

   3    
  x     
- ── + x
  6     

2.66412839453056e-6

6.66666666666667e-5

True


C:\Users\...>