数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の像と核(ベクトル空間、全射、同次元)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の像と核)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n$

   と V の基底とする。

   V の任意の元 v を

   $v=x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{}f\left(v\right)\\ =x_{1}f\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}f\left(v_n\right)\end{array}$

   また、 f は全射で W も n 次元なので、

   $f\left(v_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,f\left(v_n\right)$

   は W の基底である。

   よって、

   $f\left(v\right)=O$

   のとき、

   $x_{1}f\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}f\left(v_n\right)=O$

   なので、

   $x_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=x_n=0$

   ゆえに、

   $v=O$

   よって、 f の核は

   $\left\{O\right\}$

   である。

   （証明終）