数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の像と核(方程式の解、形)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の像と核)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   v を 問題の方程式の任意の解とする。

   $\begin{array}{}L\left(v\right)=w\\ L\left(v\right)\\ =L\left(v+u\right)\\ =L\left(v\right)+L\left(u\right)\\ =w+0\\ =w\end{array}$

   よって、任意の解は、

   $v+u$

   の 形に書ける。

   $v\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->v_0$

   と仮定すると、

   $\begin{array}{}L\left(v\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->L\left(v_0\right)\\ w\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->w\end{array}$

   となり矛盾。

   よって、

   $v=v_0$

   ゆえに、 方程式の任意の解は、

   $v_0+u$

   の形に書ける。

   （証明終）