数学 - JavaScript - 線形代数学 - 線形写像(三角形と凸集合)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題21の解答を求めてみる。

1. D、 E を三角形の任意の2点とする。
  
  このとき、
  
  $\begin{array}{l} D = t_{1} A + t_{2} B + t_{3} C \\ E = s_{1} A + s_{2} B + s_{3} C \\ t_{1} + t_{2} + t_{3} = 1 \\ s_{2} + s_{2} + s_{3} = 1 \\ t_{i}, s_{i} \geq 0 (i = 1, 2, 3) \end{array}$
  
  を満たす実数が存在し、
  
  $\begin{array}{l} 0 \leq u \leq 1 \\ u D + (1 - u) E \\ = (u t_{1} + (1 - u) s_{1}) A + \\ (u t_{2} + (1 - u) s_{2}) B + \\ (u t_{3} + (1 - u) s_{3}) C \\ u t_{i} + (1 - u) s_{i} \geq 0 (i = 1, 2, 3) \\ \sum_{i = 1}^{3} (u t_{i} + (1 - u) s_{i}) \\ = u (t_{1} + t_{2} + t_{3}) + (1 - u) (s_{1} + s_{2} + s_{3}) \\ = u + (1 - u) \\ = 1 \end{array}$
  
  よって、三角形は凸集合である
  
  （証明終）
2. $t_{1} = 0, t_{2} = 0, t_{3} = 0$
  
  それでれの場合を考えれは、線分 AB、 BC、 CA は任意の凸集合に含まれる。
  
  凸集合が三角形を含まないと仮定すると、
  
  異なる2つの線分上の2点を結ぶ線分が凸集合に含まれないことにない矛盾。
  
  よって三角形を含む。
  
  （証明終）
3. $\begin{array}{l} F (t_{1} A + t_{2} B + t_{3} C) \\ = t_{1} F (A) + t_{2} F (B) + t_{3} F (C) \end{array}$
  
  よって、 A、 B 、 C によって決定される三角形の線形写像 F による像は
  
  $F (A), F (B), F (C)$
  
  によって決定される三角形である。
  
  （証明終）

コード(Emacs)

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="2">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample21.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let fns = [],
    fx = x => -2 * x,
    fy = y => -y

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown',
                  'purple', 'brown', 'pink', 'skyblue', 'gray'],
        A = [1, 2],
        B = [3, -2],
        C = [-2, 4],
        A1 = [fx(A[0]), fy(A[1])],
        B1 = [fx(B[0]), fy(B[1])],
        C1 = [fx(C[0]), fy(C[1])],
        lines =  [[...A, ...B],
                  [...B, ...C],
                  [...C, ...A],
                  [...A1, ...B1],
                  [...B1, ...C1],
                  [...C1, ...A1]].map((line, i) => line.concat(colors[i]));

    console.log(points);
    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =

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2019年3月23日土曜日

数学 - JavaScript - 線形代数学 - 線形写像(三角形と凸集合)

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