数学 - 解析学 - 数 - 自然数、整数(実数のアルキメデス性を利用した定理、命題の証明)

解析入門(上)
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  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.2(自然数、整数)、問題3を取り組んでみる。

3. 
   

   x を任意の非負実数とする。

   実数のアルキメデス性により、

   $x<n$

   を満たす正の整数、

   $n\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}$

   が存在する。

   よって、 x より大きい正の整数は空ではない。

   問題2より、 x より大きい整数の集合には最小元が存在する。それを

   $m+1$

   とおく。

   このとき、

   $m\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x<m+1$

   また、 x が負の数のときも、同様に考えて

   $\begin{array}{}-m-1<-x\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-m\\ m\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x<m+1\end{array}$

   を満たす整数 m が存在する。

   よって、任意の実数 x に対して、

   $m\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x<m+1$

   を満たす整数が存在する。

   （証明終）