2019年3月4日月曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.2(自然数、整数)、問題3を取り組んでみる。


  1. x を任意の非負実数とする。

    実数のアルキメデス性により、

    x < n

    を満たす正の整数、

    n +

    が存在する。

    よって、 x より大きい正の整数は空ではない。

    問題2より、 x より大きい整数の集合には最小元が存在する。それを

    m + 1

    とおく。

    このとき、

    m x < m + 1

    また、 x が負の数のときも、同様に考えて

    - m - 1 < - x - m m x < m + 1

    を満たす整数 m が存在する。

    よって、任意の実数 x に対して、

    m x < m + 1

    を満たす整数が存在する。

    (証明終)

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