2019年3月6日水曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、回転体の体積の練習問題17の解答を求めてみる。


  1. π y 2 dx = π cos x sin x 2 dx ' = π cos 2 x sin x dx

    部分積分法。

    cos 2 x sin x dx = sin x · cos x sin x - sin x · - sin 2 x - cos 2 x sin 2 x dx = cos x + 1 sin x dx

    2つ目の積分について試行錯誤。

    d dx log sin x = - cos x sin x d dx log cos x sin x = sin x cos x · cos 2 x + sin 2 x sin 2 x = 1 cos x sin x d dx log 1 - cos x sin x = sin x 1 - cos x · sin 2 x - 1 - cos x cos x sin 2 x = 1 1 - cos x · sin 2 x + cos 2 x - cos x sin x = 1 - cos x 1 - cos x sin x = 1 sin x

    よって、

    cos 2 x sin x dx = cos x + log 1 - cos x sin x

    ゆえに、 求める回転体の体積は、

    π cos x + log 1 - cos x sin x a π 4 = π cos π 4 + log 1 - cos π 4 sin π 4 - cos a + log 1 - cos a sin a = π 1 2 + log 1 - 1 2 1 2 - cos a - log 1 - cos a sin a = π 1 2 + log 2 - 1 - cos a - log 1 - cos a sin a

    a が0に近づくとき、

    lim a 0 π 1 2 + log 2 - 1 - cos a - log 1 - cos a sin a =

    よって発散するので極限値をもたない。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, plot, Limit, sqrt, cos, sin

x, a = symbols('x, a')
f = cos(x) / sqrt(sin(x))
x1, x2 = a, pi / 4

I = Integral(pi * f ** 2, (x, x1, x2))
V = I.doit()
l = Limit(V, a, 0)
for o in [I, V, l, l.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

x0 = 0
x1 = pi / 8
x3 = pi
p = plot((f, (x, x0, x1)),
         (f, (x, x1, x2)),
         (f, (x, x2, x3)),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']
for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample17.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample16.py
1      
⌠      
⎮ π    
⎮ ── dx
⎮  2   
⎮ x    
⌡      
a      

     π
-π + ─
     a

     ⎛     π⎞
 lim ⎜-π + ─⎟
a─→0⁺⎝     a⎠

∞


C:\Users\...>

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ