数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 平方による比較(平方根)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、平方による比較の問21の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} 2 (a + b) - {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \\ = 2 (a + b) - (a + b + 2 \sqrt{a b}) \\ = a + b - 2 \sqrt{a b} \\ = {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \\ \geq 0 \end{array}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} 2 (a + b) \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \\ \sqrt{2 (a + b)} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} 3 (a + b) - {(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{2} \\ = 3 (a + b) - (2 a + b + 2 \sqrt{2 a b}) \\ = a + 2 b - 2 \sqrt{2 a b} \\ = {(\sqrt{a} - \sqrt{2 b})}^{2} \\ \geq 0 \\ 3 (a + b) \geq {(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{2} \\ \sqrt{3 (a + b)} \geq \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('21.')

a, b = symbols('a, b', positive=True)
fs = [sqrt(2 * (a + b)) - (sqrt(a) + sqrt(b)),
      sqrt(3 * (a + b)) - (sqrt(2 * a) + sqrt(b))]

for i, f in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(solve(f))
    print()
p = plot3d(*fs, (a, 0, 10), (b, 0, 10), show=False)
p.xlabel = a
p.ylabel = b

p.show()
p.save('sample21.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample19.py
21.
21.
(1)
[{a: b}]

(2)
[{a: 2⋅b}]


C:\Users\...>

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2019年2月19日火曜日

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