2019年2月17日日曜日

学習環境

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、相加平均と相乗平均の問20の解答を求めてみる。


  1. p 2 = a 2 + b 2 q 2 = b 2 + c 2 r 2 = c 2 + a 2

    それぞれの両辺をかける

    p 2 q 2 r 2 = a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2

    a、 b、 c、 p、 q、 r はすべて正の数。

    相加平均、 相乗平均の定理より、

    p q r = p 2 q 2 r 2 = a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 2 a 2 b 2 2 b 2 c 2 2 c 2 a 2 = 2 2 a b b c c a = 2 2 a 2 b 2 c 2 = 2 2 a b c

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, solve

print('20.')

a, b, c = symbols('a, b, c', positive=True)
p = sqrt(a ** 2 + b ** 2)
q = sqrt(b ** 2 + c ** 2)
r = sqrt(c ** 2 + a ** 2)

for d in solve(p * q * r - 2 * sqrt(2) * a * b * c):
    for k, v in d.items():
        print(k)
        pprint(v)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample19.py
20.
a
     _________________________________________________________________________
    ╱                        _________________    _________________           
   ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2 
-╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  - b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  + c ⋅
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                        _____________         
                                                       ╱    2      2          
                                                     ╲╱  2⋅b  + 2⋅c           

__________________________________________ 
   _________________    _________________  
  ╱  2            2    ╱  2            2   
╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c    
───────────────────────────────────────────
                                           
                                           
                                           

a
    __________________________________________________________________________
   ╱                        _________________    _________________            
  ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2  
╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  - b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  + c ⋅╲
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                       _____________          
                                                      ╱    2      2           
                                                    ╲╱  2⋅b  + 2⋅c            

_________________________________________
  _________________    _________________ 
 ╱  2            2    ╱  2            2  
╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   
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a
     _________________________________________________________________________
    ╱                        _________________    _________________           
   ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2 
-╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  + b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  - c ⋅
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                                                       ╱    2      2          
                                                     ╲╱  2⋅b  + 2⋅c           

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   _________________    _________________  
  ╱  2            2    ╱  2            2   
╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c    
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a
    __________________________________________________________________________
   ╱                        _________________    _________________            
  ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2  
╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  + b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  - c ⋅╲
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                                                      ╱    2      2           
                                                    ╲╱  2⋅b  + 2⋅c            

_________________________________________
  _________________    _________________ 
 ╱  2            2    ╱  2            2  
╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   
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C:\Users\...>

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