数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 相加平均と相乗平均(直方体。辺と対角線の長さ)

学習環境

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、相加平均と相乗平均の問20の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} p^{2} = a^{2} + b^{2} \\ q^{2} = b^{2} + c^{2} \\ r^{2} = c^{2} + a^{2} \end{array}$

それぞれの両辺をかける

$p^{2} q^{2} r^{2} = (a^{2} + b^{2}) (b^{2} + c^{2}) (c^{2} + a^{2})$

a、 b、 c、 p、 q、 r はすべて正の数。

相加平均、相乗平均の定理より、

$\begin{array}{l} p q r \\ = \sqrt{p^{2} q^{2} r^{2}} \\ = \sqrt{(a^{2} + b^{2}) (b^{2} + c^{2}) (c^{2} + a^{2})} \\ \leq \sqrt{2 \sqrt{a^{2} b^{2}} 2 \sqrt{b^{2} c^{2}} 2 \sqrt{c^{2} a^{2}}} \\ = 2 \sqrt{2 a b b c c a} \\ = 2 \sqrt{2 a^{2} b^{2} c^{2}} \\ = 2 \sqrt{2} a b c \end{array}$

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, solve

print('20.')

a, b, c = symbols('a, b, c', positive=True)
p = sqrt(a ** 2 + b ** 2)
q = sqrt(b ** 2 + c ** 2)
r = sqrt(c ** 2 + a ** 2)

for d in solve(p * q * r - 2 * sqrt(2) * a * b * c):
    for k, v in d.items():
        print(k)
        pprint(v)
    print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample19.py
20.
a
     _________________________________________________________________________
    ╱                        _________________    _________________           
   ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2 
-╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  - b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  + c ⋅
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                        _____________         
                                                       ╱    2      2          
                                                     ╲╱  2⋅b  + 2⋅c           

__________________________________________ 
   _________________    _________________  
  ╱  2            2    ╱  2            2   
╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c    
───────────────────────────────────────────
                                           
                                           
                                           

a
    __________________________________________________________________________
   ╱                        _________________    _________________            
  ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2  
╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  - b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  + c ⋅╲
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                       _____________          
                                                      ╱    2      2           
                                                    ╲╱  2⋅b  + 2⋅c            

_________________________________________
  _________________    _________________ 
 ╱  2            2    ╱  2            2  
╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   
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a
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    ╱                        _________________    _________________           
   ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2 
-╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  + b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  - c ⋅
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                                                     ╲╱  2⋅b  + 2⋅c           

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  ╱  2            2    ╱  2            2   
╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c    
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a
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   ╱                        _________________    _________________            
  ╱     4      2  2    2   ╱  2            2    ╱  2            2     4    2  
╲╱   - b  + 6⋅b ⋅c  + b ⋅╲╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   - c  - c ⋅╲
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                                                      ╱    2      2           
                                                    ╲╱  2⋅b  + 2⋅c            

_________________________________________
  _________________    _________________ 
 ╱  2            2    ╱  2            2  
╱  b  - 4⋅b⋅c + c  ⋅╲╱  b  + 4⋅b⋅c + c   
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C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年2月17日日曜日

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