数学 - Python - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の証明 – 相加平均と相乗平均(色々な不等式)

数学読本〈1〉
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学習環境

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• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.3(不等式の証明)、相加平均と相乗平均の問18の解答を求めてみる。

18. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2\sqrt{\frac{a}{b}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{b}{a}}\\ =2\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\left(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\right)\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2\sqrt{1+\frac{ad}{bc}+\frac{bc}{ad}+1}\\ =2\sqrt{2+\frac{ad}{bc}+\frac{bc}{ad}}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2\sqrt{2+2\sqrt{\frac{adbc}{bcad}}}\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2\sqrt{4}\\ =4\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{}x+y\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2\sqrt{xy}\\ =\frac{2xy}{\sqrt{xy}}\end{array}$

       よって、

       $\sqrt{xy}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{2xy}{x+y}$
    4. 
       
       $\begin{array}{}\left(x^3+y^3\right)-\left(x^{2}y+x{y}^2\right)\\ =\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\\ =\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ x^3+y^3\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->x^{2}y+x{y}^2\end{array}$
    5. 
       
       $\begin{array}{}\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2\sqrt{bc}2\sqrt{ca}2\sqrt{ab}\\ =8abc\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('18.')

a, b = symbols('a, b', positive=True)
fs = [a / b + b / a - 2,
      sqrt(a * b) - 2 * a * b / (a + b),
      (a ** 3 + b ** 3) - (a ** 2 * b + a * b ** 2)]

for f in fs:
    pprint(solve(f))
    print()

p = plot3d(*fs, (a, 0.1, 5), (b, 0.1, 5))
p.xlabel = 'a'
p.ylabel = 'b'
p.save('sample18.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample18.py
18.
[{a: b}]

[{a: b}]

[{a: b}]


C:\Users\...>