数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(ベキ零行列の積と和)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題22の解答を求めてみる。

22. 
    

    A、 B はベキ零なので、ある1以上の整数 r、 s が存在して、

    $\begin{array}{}{A}^r=O\\ B^s=O\end{array}$

    よって、

    $t=\max \left\{r,s\right\}$

    とおけば、可換であることから

    $\begin{array}{}{\left(AB\right)}^t\\ =A^t{B}^t\\ =A^r{A}^{t-r}{B}^s{B}^{t-s}\\ =O{A}^{t-r}O{B}^{t-s}\\ =O\end{array}$

    和について。

    $k=r+s$

    ておけば、

    $\begin{array}{}{\left(A+B\right)}^k\\ =\underset{i=0}{\overset{k}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right)A^i{B}^{k-i}\end{array}$

    ここでも、

    $0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->i\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r$

    のとき、

    $\begin{array}{}k-i\\ =m+n-i\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->r+s-r\\ =s\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{}{B}^{k-i}\\ =B^s{B}^{k-i-s}\\ =O\end{array}$

    また、

    $r<i\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->k$

    の場合、

    $\begin{array}{}{A}^i\\ =A^r{A}^{r-i}\\ =O{A}^{r-i}\\ =O\end{array}$

    よって、

    ${\left(A+B\right)}^k=O$

    ゆえに、和はベキ零行列である。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, randMatrix, Matrix

print('22.')


def is_equal(a, b, n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if a[i, j] != b[i, j]:
                return False
    return True


for n in range(2, 6):
    O = Matrix([[0 for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    while True:
        is_zero = False
        while True:
            A = randMatrix(n, min=-10, max=10, percent=20)
            if is_equal(A, O, n):
                continue
            for r in range(1, 11):
                if is_equal(A ** r, O, n):
                    is_zero = True
                    break
            if is_zero:
                break
        is_zero = False
        while True:
            B = randMatrix(n, min=-10, max=10, percent=20)
            if is_equal(B, O, n):
                continue
            for s in range(1, 11):
                if is_equal(B ** s, O, n):
                    is_zero = True
                    break
            if is_zero:
                break
        if is_equal(A * B, B * A, n):
            print(f'r = {r}, s = {s}')
            for t in [A, B, (A * B) ** r, (A + B) ** (r + s)]:
                pprint(t)
                print()
            print()
            break

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample22.py
22.
r = 2, s = 2
⎡0  2⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  7⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦


r = 3, s = 2
⎡0   0  0⎤
⎢        ⎥
⎢-4  0  0⎥
⎢        ⎥
⎣0   9  0⎦

⎡ 0   0  0⎤
⎢         ⎥
⎢ 0   0  0⎥
⎢         ⎥
⎣-10  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦


r = 2, s = 2
⎡0   0  0  0⎤
⎢           ⎥
⎢0   0  0  0⎥
⎢           ⎥
⎢-5  2  0  0⎥
⎢           ⎥
⎣10  3  0  0⎦

⎡0    0   0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0    0   0  0⎥
⎢             ⎥
⎢-7  -10  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣2    0   0  0⎦

⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦


r = 3, s = 2
⎡0   0  0   0  0⎤
⎢               ⎥
⎢0   0  0   0  0⎥
⎢               ⎥
⎢10  0  0   0  0⎥
⎢               ⎥
⎢0   0  0   0  0⎥
⎢               ⎥
⎣9   1  -1  0  0⎦

⎡0  0  0  0   0⎤
⎢              ⎥
⎢0  0  0  0   0⎥
⎢              ⎥
⎢0  0  0  0   0⎥
⎢              ⎥
⎢0  0  0  0   0⎥
⎢              ⎥
⎣3  0  0  -3  0⎦

⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦



C:\Users\...>