2019年2月18日月曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題21の解答を求めてみる。



    1. t r A B = i = 1 n k = 1 n a i k b k i t r B A = i = 1 n k = 1 n b i k a k i = i = 1 n k = 1 n a k i b i k = i = 1 n k = 1 n a i k b k i

      よって、

      t r A B = t r B A

    2. B - 1 = c i j

      とおく。
      このとき、(i, j)成分 について、

      B B - 1 = I k = 1 n b i k c k j = I i = j k = 1 n b i k c k j = k = 1 n b i k c k i = 1 i j k = 1 n b i k c k j = 0

      また、

      B - 1 A B = k = 1 n c i k a k j B = l = 1 n k = 1 n c i k a k l b l j = l = 1 n k = 1 n b l j c i k a k l t r B - 1 A B = i = 1 n l = 1 n k = 1 n b l i c i k a k l = i = 1 n l = 1 n k = 1 n b i l c l k a k i = i = 1 n l = 1 n b i l c l i a i i = i = 1 n l = 1 n b i l c l k a i i = i = 1 n a i i

      よって、行列 B が可逆ならば、

      t r B - 1 A B = t r A

      が成り立つ。

      (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, randMatrix

print('21.')

for n in range(1, 6):
    A = randMatrix(n)
    B = randMatrix(n)
    try:
        for t in [A, B, (A * B).trace() == (B * A).trace(),
                  (B**-1 * A * B).trace() == A.trace()]:
            pprint(t)
            print()
        print()
    except Exception as err:
        print(type(err), err)

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample21.py
21.
[66]

[69]

True

True


⎡95  54⎤
⎢      ⎥
⎣35  17⎦

⎡24  42⎤
⎢      ⎥
⎣62  36⎦

True

True


⎡56  80  19⎤
⎢          ⎥
⎢13  29  80⎥
⎢          ⎥
⎣77  18  74⎦

⎡91  13  29⎤
⎢          ⎥
⎢90  66  10⎥
⎢          ⎥
⎣20  44  9 ⎦

True

True


⎡55  60  31  63⎤
⎢              ⎥
⎢31  63  82  3 ⎥
⎢              ⎥
⎢65  87  79  73⎥
⎢              ⎥
⎣54  68  99  56⎦

⎡98  33  73  49⎤
⎢              ⎥
⎢26  96  9   44⎥
⎢              ⎥
⎢81  65  11  86⎥
⎢              ⎥
⎣96  6   66  26⎦

True

True


⎡0   45  99  94  11⎤
⎢                  ⎥
⎢74  2   90  15  1 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   95  44  9   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢52  26  26  85  90⎥
⎢                  ⎥
⎣33  21  59  48  41⎦

⎡67  49  38  18  30⎤
⎢                  ⎥
⎢82  55  91  41  26⎥
⎢                  ⎥
⎢74  15  50  22  98⎥
⎢                  ⎥
⎢64  30  24  4   57⎥
⎢                  ⎥
⎣82  0   68  79  8 ⎦

True

True


C:\Users\...>

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