数学 - Python - 解析学 - 数 - 実数(3の倍数、平方、3と6の平方根、無理数、背理法)

解析入門(上)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.1(実数)、問題3を取り組んでみる。

3. 
   

   a が3の倍数ではないと仮定する。

   $a=3k+1$

   の場合。

   $\begin{array}{}{a}^2\\ ={\left(3k+1\right)}^2\\ =3^2{k}^2+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3k+1\\ =3\left(3k+2k\right)+1\end{array}$

   よって a の2乗が3の倍数であることと矛盾。

   $a=3k+2$

   のとき。

   $\begin{array}{}{a}^2\\ ={\left(3k+2\right)}^2\\ =3^2{k}^2+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3k+4\\ =3\left(3k^2+2^{2}k+1\right)+1\end{array}$

   よって矛盾。

   ゆえに、 整数 a の2乗が3の倍数ならば、 a は3の倍数である。

   $\sqrt{3}$

   が有理数であると仮定し、既約分数で表す。

   $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$

   このとき、

   $\begin{array}{}3=\frac{m^2}{n^2}\\ 3n^2=m^2\end{array}$

   よって、 m の二乗は3の倍数なので、 m は3の倍数である。

   $m=3k$

   とおくと、

   $\begin{array}{}3n^2=3^{2}k\\ n^2=3k\end{array}$

   よって、 n は3の倍数である。これは既約であることと矛盾。

   ゆえに、3の平方根は無理数である。

   $\sqrt{6}$

   が有理数であると仮定し、既約分数

   $\sqrt{6}=\frac{m}{n}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{}6=\frac{m^2}{n^2}\\ 3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2n^2=m^2\end{array}$

   よって、 m は3の倍数である。

   $m=3k$

   とおくと、

   $\begin{array}{}3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2n^2=3^2{k}^2\\ 2n^2=3k^2\end{array}$

   よって、

   $2n^2$

   は3の倍数であり、 2は素数なので、

   $n^2$

   は3の倍数である。

   よって、 n は3の倍数である。

   これは既約であることと矛盾。

   ゆえに、6の平方根は無理数である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt

print('3.')

a = sqrt(3)
b = sqrt(6)


for t in [a, b]:
    print(t.is_rational)

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample3.py
3.
False
False

C:\Users\...>