2019年2月20日水曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数)、1.1(実数)、問題3を取り組んでみる。


  1. a が3の倍数ではないと仮定する。

    a = 3 k + 1

    の場合。

    a 2 = 3 k + 1 2 = 3 2 k 2 + 2 · 3 k + 1 = 3 3 k + 2 k + 1

    よって a の2乗が3の倍数であることと矛盾。

    a = 3 k + 2

    のとき。

    a 2 = 3 k + 2 2 = 3 2 k 2 + 2 · 2 · 3 k + 4 = 3 3 k 2 + 2 2 k + 1 + 1

    よって矛盾。

    ゆえに、 整数 a の2乗が3の倍数ならば、 a は3の倍数である。

    3

    が有理数であると仮定し、既約分数で表す。

    3 = m n

    このとき、

    3 = m 2 n 2 3 n 2 = m 2

    よって、 m の二乗は3の倍数なので、 m は3の倍数である。

    m = 3 k

    とおくと、

    3 n 2 = 3 2 k n 2 = 3 k

    よって、 n は3の倍数である。これは既約であることと矛盾。

    ゆえに、3の平方根は無理数である。

    6

    が有理数であると仮定し、既約分数

    6 = m n

    とおく。

    このとき、

    6 = m 2 n 2 3 · 2 n 2 = m 2

    よって、 m は3の倍数である。

    m = 3 k

    とおくと、

    3 · 2 n 2 = 3 2 k 2 2 n 2 = 3 k 2

    よって、

    2 n 2

    は3の倍数であり、 2は素数なので、

    n 2

    は3の倍数である。

    よって、 n は3の倍数である。

    これは既約であることと矛盾。

    ゆえに、6の平方根は無理数である。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt

print('3.')

a = sqrt(3)
b = sqrt(6)


for t in [a, b]:
    print(t.is_rational)

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample3.py
3.
False
False

C:\Users\...>

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ