数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 面積(直線、累乗(平方)、交点、直交座標)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、面積の練習問題15の解答を求めてみる。

15. 
    

    2つの曲線の交点を求める。

    $\begin{array}{}{x}^2-\left(x+1\right)=0\\ x^2-x-1=0\\ x=\frac{1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{1+4}}{2}\\ =\frac{1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{5}}{2}\end{array}$

    不定積分。

    $\begin{array}{}\int \; <!--\; integral\; -->\left(\left(x+1\right)-x^2\right)\mathrm{dx}\\ =-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x\end{array}$

    よって求める2曲線の2つの交点の間の面積は、

    $\begin{array}{}\left(-\frac{1}{3}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^3+\frac{1}{2}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\ -\left(-\frac{1}{3}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^3+\frac{1}{2}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\\ =-\frac{1}{3}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^3-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^3\right)+\frac{1}{2}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2\right)+\sqrt{5}\\ =-\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{8}\left(\left(1+\sqrt{5}\right)-\left(1-\sqrt{5}\right)\right)\left({\left(1+\sqrt{5}\right)}^2+\left(1+\sqrt{5}\right)\left(1-\sqrt{5}\right)+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2\right)\\ +\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{4}\left(\left(1+\sqrt{5}\right)-\left(1-\sqrt{5}\right)\right)\left(\left(1+\sqrt{5}\right)+\left(1-\sqrt{5}\right)\right)\\ +\sqrt{5}\\ =-\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{8}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\sqrt{5}\left(1+2\sqrt{5}+5+1-5+1-2\sqrt{5}+5\right)\\ +\frac{1}{2}\frac{1}{4}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\sqrt{5}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\\ +\sqrt{5}\\ =-\frac{1}{3}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{4}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\sqrt{5}·\; <!--\; middle\; dot\; -->8+\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}\\ =-\frac{2\sqrt{5}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}\\ =\frac{\left(-4+3+6\right)\sqrt{5}}{6}\\ =\frac{5\sqrt{5}}{6}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, plot, solve

x = symbols('x')
f = x + 1
g = x ** 2
xs = solve(f - g)
pprint(xs)
x2, x1 = xs
I = Integral(f - g, (x, x1, x2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

a, b, c, d = x1 - 1, x1, x2, x2 + 1
p = plot((f, (x, a, b)),
         (f, (x, b, c)),
         (f, (x, c, d)),
         (g, (x, a, b)),
         (g, (x, b, c)),
         (g, (x, c, d)),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'pink']

for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]
p.save('sample15.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample15.py
⎡1   √5    √5   1⎤
⎢─ + ──, - ── + ─⎥
⎣2   2     2    2⎦
 1   √5                   
 ─ + ──                   
 2   2                    
   ⌠                      
   ⎮     ⎛   2        ⎞   
   ⎮     ⎝- x  + x + 1⎠ dx
   ⌡                      
  √5   1                  
- ── + ─                  
  2    2                  

5⋅√5
────
 6  


C:\Users\...>