2019年2月16日土曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、面積の練習問題15の解答を求めてみる。


  1. 2つの曲線の交点を求める。

    x 2 - x + 1 = 0 x 2 - x - 1 = 0 x = 1 ± 1 + 4 2 = 1 ± 5 2

    不定積分。

    x + 1 - x 2 dx = - 1 3 x 3 + 1 2 x 2 + x

    よって求める2曲線の2つの交点の間の面積は、

    - 1 3 1 + 5 2 3 + 1 2 1 + 5 2 2 + 1 + 5 2 - - 1 3 1 - 5 2 3 + 1 2 1 - 5 2 2 + 1 - 5 2 = - 1 3 1 + 5 2 3 - 1 - 5 2 3 + 1 2 1 + 5 2 2 - 1 - 5 2 2 + 5 = - 1 3 · 1 8 1 + 5 - 1 - 5 1 + 5 2 + 1 + 5 1 - 5 + 1 - 5 2 + 1 2 · 1 4 1 + 5 - 1 - 5 1 + 5 + 1 - 5 + 5 = - 1 3 · 1 8 · 2 5 1 + 2 5 + 5 + 1 - 5 + 1 - 2 5 + 5 + 1 2 1 4 · 2 5 · 2 + 5 = - 1 3 · 1 4 · 5 · 8 + 5 2 + 5 = - 2 5 3 + 5 2 + 5 = - 4 + 3 + 6 5 6 = 5 5 6

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, plot, solve

x = symbols('x')
f = x + 1
g = x ** 2
xs = solve(f - g)
pprint(xs)
x2, x1 = xs
I = Integral(f - g, (x, x1, x2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

a, b, c, d = x1 - 1, x1, x2, x2 + 1
p = plot((f, (x, a, b)),
         (f, (x, b, c)),
         (f, (x, c, d)),
         (g, (x, a, b)),
         (g, (x, b, c)),
         (g, (x, c, d)),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'pink']

for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]
p.save('sample15.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample15.py
⎡1   √5    √5   1⎤
⎢─ + ──, - ── + ─⎥
⎣2   2     2    2⎦
 1   √5                   
 ─ + ──                   
 2   2                    
   ⌠                      
   ⎮     ⎛   2        ⎞   
   ⎮     ⎝- x  + x + 1⎠ dx
   ⌡                      
  √5   1                  
- ── + ─                  
  2    2                  

5⋅√5
────
 6  


C:\Users\...>

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