数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(三角関数(正弦と余弦)、半角、加法定理、微分、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題18の解答を求めてみる。

18. 
    
    $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(1+\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(1+\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+2\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\left(-\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+2\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\sqrt{2}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\sqrt{2}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+\cos \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}+\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\sqrt{2}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\sqrt{2}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)-\left(1-{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\sqrt{2}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{2{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =2\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\cos \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =2{\left[2\sin \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)\right]}_0^{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}\\ =4\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{8}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, sqrt, cos, sin, pi
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 1 + cos(theta)
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(r ** 2 + Derivative(r, theta, 1) ** 2),
             (theta, 0, pi / 4))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

I = 2 * Integral(cos(theta / 2), (theta, 0, pi / 4))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), 4 * sin(pi / 8)]:
    print(float(o))

p = plot_parametric((x, y, (theta, -pi, 0)),
                    (x, y, (theta, 0, pi / 4)),
                    (x, y, (theta, pi / 4, pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample18.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample18.py
π                                            
─                                            
4                                            
⌠                                            
⎮      ___________________________________   
⎮     ╱                                 2    
⎮    ╱              2   ⎛d             ⎞     
⎮   ╱   (cos(θ) + 1)  + ⎜──(cos(θ) + 1)⎟   dθ
⎮ ╲╱                    ⎝dθ            ⎠     
⌡                                            
0                                            

π                    
─                    
4                    
⌠                    
⎮   ______________   
⎮ ╲╱ 2⋅cos(θ) + 2  dθ
⌡                    
0                    

  π          
  ─          
  4          
  ⌠          
  ⎮    ⎛θ⎞   
2⋅⎮ cos⎜─⎟ dθ
  ⎮    ⎝2⎠   
  ⌡          
  0          

    _________
2⋅╲╱ -√2 + 2 

1.5307337294603591
1.5307337294603591
$