数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(置換積分法、パラメータ表示、累乗(べき乗、平方)、放物線、対数関数、平方根)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{}\underset{-2}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(4+2t\right)\right)}^2+{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{1}{2}{t}^2+3\right)\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =\underset{-2}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{4+t^2}\mathrm{dt}\\ =2\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{4+t^2}\mathrm{dt}\\ t=2s\\ \frac{\mathrm{dt}}{ds}=2\\ t=0,s=0\\ t=2,s=1\\ 2\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{4+t^2}\mathrm{dt}\\ =2\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{4+4s^2}\left(2s\right)ds\\ =8·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}{\left[s\sqrt{1+s^2}+\log \left(s+\sqrt{1+s^2}\right)\right]}_0^1\\ =4\left(\sqrt{2}+\log \left(1+\sqrt{2}\right)\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log
from sympy.plotting import plot_parametric

t = symbols('t')

x = 4 + 2 * t
y = t ** 2 / 2 + 3
I = Integral(sqrt(Derivative(x, t, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, t, 1) ** 2), (t, -2, 2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), 4 * (sqrt(2) + log(1 + sqrt(2)))]:
    pprint(float(o))


p = plot_parametric((x, y, (t, -5, -2)),
                    (x, y, (t, -2, 2)),
                    (x, y, (t, 2, 5)),
                    legend=True,
                    show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample6.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample6.py
2                                           
⌠                                           
⎮        ________________________________   
⎮       ╱                              2    
⎮      ╱               2   ⎛  ⎛ 2    ⎞⎞     
⎮     ╱   ⎛d          ⎞    ⎜d ⎜t     ⎟⎟     
⎮    ╱    ⎜──(2⋅t + 4)⎟  + ⎜──⎜── + 3⎟⎟   dt
⎮  ╲╱     ⎝dt         ⎠    ⎝dt⎝2     ⎠⎠     
⌡                                           
-2                                          

-2⋅log(-1 + √2) + 2⋅log(1 + √2) + 4⋅√2

9.182348597570552
9.182348597570552
$